Analysis Beispiele

$y = 2 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{3}$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \sin (x) \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 4

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 5

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 7

Addiere $1$ und $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 8

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Schritt 9

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Schritt 10

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Schritt 11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Schritt 12

Addiere $1$ und $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Schritt 14

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{π}{3}$ .

$- 2 \sin^{2} (\frac{π}{3}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 15.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{2}$ an.

$- 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 15.1.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 15.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 15.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 15.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 15.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 15.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 \frac{3^{1}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 15.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$- 2 \frac{3}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 15.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 2 (\frac{3}{4}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 15.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{3}{4} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 15.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 \cdot - 1 \frac{3}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 15.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{3}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 15.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$- 1 (\frac{3}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 15.1.6

Schreibe $- 1 (\frac{3}{2})$ als $- (\frac{3}{2})$ um.

$- (\frac{3}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 15.1.7

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} + 2 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 15.1.8

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Schritt 15.1.9

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2^{2}}$

Schritt 15.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{3}{2} + 2 (\frac{1}{4})$

Schritt 15.1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.1.11.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2 (2)}$

Schritt 15.1.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2 \cdot 2}$

Schritt 15.1.11.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 15.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 15.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 3 + 1}{2}$

Schritt 15.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 15.2.2.1

Addiere $- 3$ und $1$ .

$\frac{- 2}{2}$

Schritt 15.2.2.2

Dividiere $- 2$ durch $2$ .

$- 1$