Analysis Beispiele

$h (x) = 6 \cos^{4} (x) \sin (x)$ , $[0, π]$

Schritt 1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

$h (x)$ ist stetig im Intervall $[0, π]$ .

$h (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $h$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\int_{0}^{π} 6 \cos^{4} (x) \sin (x) d x)$

Schritt 5

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 \int_{0}^{π} \cos^{4} (x) \sin (x) d x)$

Schritt 6

Sei $u = \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 6.1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Schritt 6.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \cos (x)$ ein.

$u_{lower} = \cos (0)$

Schritt 6.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 6.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \cos (x)$ ein.

$u_{upper} = \cos (π)$

Schritt 6.5

Vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$u_{upper} = - \cos (0)$

Schritt 6.5.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Schritt 6.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Schritt 6.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

Schritt 6.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 \int_{1}^{- 1} - u^{4} d u)$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 (- \int_{1}^{- 1} u^{4} d u))$

Schritt 8

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 \int_{1}^{- 1} u^{4} d u)$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{- 1}))$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $u^{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{- 1}))$

Schritt 11

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.1

Berechne $\frac{u^{5}}{5}$ bei $- 1$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 ((\frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - \frac{1^{5}}{5}))$

Schritt 11.2

Vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{- 1}{5} - \frac{1^{5}}{5}))$

Schritt 11.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{1}{5} - \frac{1^{5}}{5}))$

Schritt 11.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5}))$

Schritt 11.2.4

Subtrahiere $\frac{1}{5}$ von $- \frac{1}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- 2 (\frac{1}{5})))$

Schritt 11.2.5

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{- 2}{5}))$

Schritt 11.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{2}{5}))$

Schritt 11.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 (\frac{2}{5}))$

Schritt 11.2.8

Kombiniere $6$ und $\frac{2}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\frac{6 \cdot 2}{5})$

Schritt 11.2.9

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\frac{12}{5})$

Schritt 12

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{π + 0} \cdot \frac{12}{5}$

Schritt 12.2

Addiere $π$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{π} \cdot \frac{12}{5}$

Schritt 13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $\frac{1}{π}$ mit $\frac{12}{5}$ .

$A (x) = \frac{12}{π \cdot 5}$

Schritt 13.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $π$ .

$A (x) = \frac{12}{5 π}$

Schritt 14