Analysis Beispiele

$g (t) = \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ , $[2, 5]$

Schritt 1

Um den Durchschnittswert einer Funktion zu finden, sollte die Funktion über das geschlossene Intervall $[a, b]$ stetig sein. Um herauszufinden, ob $g (t)$ stetig auf $[2, 5]$ ist oder nicht, finde den Definitionsbereich von $g (t) = \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ .

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Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{5 + t^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$5 + t^{2} \geq 0$

Schritt 1.2

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$t^{2} \geq - 5$

Schritt 1.2.2

Da die linke Seite eine gerade Potenz aufweist, ist sie immer positiv für alle reellen Zahlen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 1.3

Setze den Nenner in $\frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{5 + t^{2}} = 0$

Schritt 1.4

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 1.4.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{5 + t^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 1.4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 + t^{2}}$ als ${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache ${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 1.4.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 1.4.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(5 + t^{2})}^{1} = 0^{2}$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Vereinfache.

$5 + t^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$5 + t^{2} = 0$

Schritt 1.4.3

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 1.4.3.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$t^{2} = - 5$

Schritt 1.4.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- 5}$

Schritt 1.4.3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Schritt 1.4.3.3.1

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$t = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Schritt 1.4.3.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (5)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ um.

$t = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Schritt 1.4.3.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$t = \pm i \sqrt{5}$

Schritt 1.4.3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.4.3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$t = i \sqrt{5}$

Schritt 1.4.3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$t = - i \sqrt{5}$

Schritt 1.4.3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$t = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Schritt 1.5

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${t | t \in ℝ}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${t | t \in ℝ}$

Schritt 2

$g (t)$ ist stetig im Intervall $[2, 5]$ .

$g (t)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $g$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}} d t)$

Schritt 5

Sei $u = 5 + t^{2}$ . Dann ist $d u = 2 t d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 5 + t^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $5 + t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [5 + t^{2}]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 + t^{2}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 5.1.3

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 t$

Schritt 5.1.5

Addiere $0$ und $2 t$ .

$2 t$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = 5 + t^{2}$ ein.

$u_{lower} = 5 + 2^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u_{lower} = 5 + 4$

Schritt 5.3.2

Addiere $5$ und $4$ .

$u_{lower} = 9$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = 5 + t^{2}$ ein.

$u_{upper} = 5 + 5^{2}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$u_{upper} = 5 + 25$

Schritt 5.5.2

Addiere $5$ und $25$ .

$u_{upper} = 30$

Schritt 5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 30$

Schritt 5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u)$

Schritt 6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Schritt 8

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

Schritt 8.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u)$

Schritt 8.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 8.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u)$

Schritt 8.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{\frac{- 1}{2}} d u)$

Schritt 8.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}}]_{9}^{30})$

Schritt 10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.1

Berechne $2 u^{\frac{1}{2}}$ bei $30$ und $9$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot ((2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}))$

Schritt 10.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}))$

Schritt 10.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3))$

Schritt 10.2.4

Berechne den Exponenten.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3))$

Schritt 10.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 6))$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 (30^{\frac{1}{2}})) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

Schritt 11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

Schritt 11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

Schritt 11.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 3)))$

Schritt 11.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 3))$

Schritt 11.3.3

Forme den Ausdruck um.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} - 3)$

Schritt 12

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$A (t) = \frac{1}{3} \cdot (30^{\frac{1}{2}} - 3)$

Schritt 13

Wende das Distributivgesetz an.

$A (t) = \frac{1}{3} \cdot 30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 14

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $30^{\frac{1}{2}}$ .

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 15.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1))$

Schritt 15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

Schritt 15.3

Forme den Ausdruck um.

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} - 1$

Schritt 16