Analysis Beispiele

$f (x) = x^{n}$ ; $[0, 1]$

Schritt 1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 1]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} x^{n} d x)$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{n}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{n + 1} x^{n + 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{n + 1} \cdot x^{n + 1}]_{0}^{1})$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{n + 1}$ und $x^{n + 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{x^{n + 1}}{n + 1}]_{0}^{1})$

Schritt 6.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Berechne $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ bei $1$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} ((\frac{1^{n + 1}}{n + 1}) - \frac{0^{n + 1}}{n + 1})$

Schritt 6.2.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{n + 1} - \frac{0^{n + 1}}{n + 1})$

Schritt 6.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1 - 0^{n + 1}}{n + 1})$

Schritt 7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot \frac{1 - 0^{n + 1}}{n + 1}$

Schritt 7.2

Addiere $1$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{1 - 0^{n + 1}}{n + 1}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1

Dividiere $1$ durch $1$ .

$A (x) = 1 \cdot \frac{1 - 0^{n + 1}}{n + 1}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\frac{1 - 0^{n + 1}}{n + 1}$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1 - 0^{n + 1}}{n + 1}$

Schritt 9