Analysis Beispiele

$\frac{36 x}{x^{2} + 36}$ , $(- 3, - \frac{12}{5})$

Schritt 1

Schreibe $\frac{36 x}{x^{2} + 36}$ als Gleichung.

$y = \frac{36 x}{x^{2} + 36}$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 3$ und $y = - \frac{12}{5}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Da $36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{36 x}{x^{2} + 36}$ nach $x$ gleich $36 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 36}]$ .

$36 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 36}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} + 36$ .

$36 \frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$36 \frac{(x^{2} + 36) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $x^{2} + 36$ mit $1$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 36$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - x (2 x + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.3.5

Da $36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $36$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$36 \frac{x^{2} + 36 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.8

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$36 \frac{- x^{2} + 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.9

Kombiniere $36$ und $\frac{- x^{2} + 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ .

$\frac{36 (- x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.10

Vereinfache.

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Schritt 2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{36 (- x^{2}) + 36 \cdot 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$\frac{- 36 x^{2} + 36 \cdot 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.10.2.2

Mutltipliziere $36$ mit $36$ .

$\frac{- 36 x^{2} + 1296}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.11

Bestimme die Ableitung bei $x = - 3$ .

$\frac{- 36 {(- 3)}^{2} + 1296}{{({(- 3)}^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.12

Vereinfache.

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Schritt 2.12.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.12.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{- 36 \cdot 9 + 1296}{{({(- 3)}^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.12.1.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $9$ .

$\frac{- 324 + 1296}{{({(- 3)}^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.12.1.3

Addiere $- 324$ und $1296$ .

$\frac{972}{{({(- 3)}^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.12.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.12.2.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{972}{{(9 + 36)}^{2}}$

Schritt 2.12.2.2

Addiere $9$ und $36$ .

$\frac{972}{45^{2}}$

Schritt 2.12.2.3

Potenziere $45$ mit $2$ .

$\frac{972}{2025}$

Schritt 2.12.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $972$ und $2025$ .

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Schritt 2.12.3.1

Faktorisiere $81$ aus $972$ heraus.

$\frac{81 (12)}{2025}$

Schritt 2.12.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.12.3.2.1

Faktorisiere $81$ aus $2025$ heraus.

$\frac{81 \cdot 12}{81 \cdot 25}$

Schritt 2.12.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{81 \cdot 12}{81 \cdot 25}$

Schritt 2.12.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{12}{25}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $\frac{12}{25}$ und einen gegebenen Punkt $(- 3, - \frac{12}{5})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- \frac{12}{5}) = \frac{12}{25} \cdot (x - (- 3))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + \frac{12}{5} = \frac{12}{25} \cdot (x + 3)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $\frac{12}{25} \cdot (x + 3)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y + \frac{12}{5} = 0 + 0 + \frac{12}{25} \cdot (x + 3)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + \frac{12}{5} = \frac{12}{25} \cdot (x + 3)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + \frac{12}{5} = \frac{12}{25} x + \frac{12}{25} \cdot 3$

Schritt 3.3.1.4

Kombiniere $\frac{12}{25}$ und $x$ .

$y + \frac{12}{5} = \frac{12 x}{25} + \frac{12}{25} \cdot 3$

Schritt 3.3.1.5

Multipliziere $\frac{12}{25} \cdot 3$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Kombiniere $\frac{12}{25}$ und $3$ .

$y + \frac{12}{5} = \frac{12 x}{25} + \frac{12 \cdot 3}{25}$

Schritt 3.3.1.5.2

Mutltipliziere $12$ mit $3$ .

$y + \frac{12}{5} = \frac{12 x}{25} + \frac{36}{25}$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $\frac{12}{5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{36}{25} - \frac{12}{5}$

Schritt 3.3.2.2

Um $- \frac{12}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{36}{25} - \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 3.3.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $25$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{12}{5}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{36}{25} - \frac{12 \cdot 5}{5 \cdot 5}$

Schritt 3.3.2.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{36}{25} - \frac{12 \cdot 5}{25}$

Schritt 3.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{36 - 12 \cdot 5}{25}$

Schritt 3.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.5.1

Mutltipliziere $- 12$ mit $5$ .

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{36 - 60}{25}$

Schritt 3.3.2.5.2

Subtrahiere $60$ von $36$ .

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{- 24}{25}$

Schritt 3.3.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{12 x}{25} - \frac{24}{25}$

Schritt 3.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{12}{25} x - \frac{24}{25}$

Schritt 4