Analysis Beispiele

$\sin (x + y) = 2 x - 2 y$ , $(π, π)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = π$ und $y = π$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\sin (x + y)) = \frac{d}{d x} (2 x - 2 y)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x + y$ .

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Schritt 1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 1.2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 1.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 1.2.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\cos (x + y) (1 + y')$

Schritt 1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 2 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 1.3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.3.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 1.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 - 2 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.3.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 - 2 y'$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\cos (x + y) (1 + y') = 2 - 2 y'$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.1.1

Vereinfache $\cos (x + y) (1 + y')$ .

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Schritt 1.5.1.1.1

Forme um.

$0 + 0 + \cos (x + y) (1 + y') = 2 - 2 y'$

Schritt 1.5.1.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$\cos (x + y) (1 + y') = 2 - 2 y'$

Schritt 1.5.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x + y) \cdot 1 + \cos (x + y) y' = 2 - 2 y'$

Schritt 1.5.1.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.5.1.1.4.1

Mutltipliziere $\cos (x + y)$ mit $1$ .

$\cos (x + y) + \cos (x + y) y' = 2 - 2 y'$

Schritt 1.5.1.1.4.2

Stelle die Faktoren in $\cos (x + y) + \cos (x + y) y'$ um.

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) = 2 - 2 y'$

Schritt 1.5.2

Addiere $2 y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) + 2 y' = 2$

Schritt 1.5.3

Subtrahiere $\cos (x + y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' \cos (x + y) + 2 y' = 2 - \cos (x + y)$

Schritt 1.5.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cos (x + y) + 2 y'$ heraus.

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Schritt 1.5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cos (x + y)$ heraus.

$y' (\cos (x + y)) + 2 y' = 2 - \cos (x + y)$

Schritt 1.5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $2 y'$ heraus.

$y' (\cos (x + y)) + y' \cdot 2 = 2 - \cos (x + y)$

Schritt 1.5.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (\cos (x + y)) + y' \cdot 2$ heraus.

$y' (\cos (x + y) + 2) = 2 - \cos (x + y)$

Schritt 1.5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (\cos (x + y) + 2) = 2 - \cos (x + y)$ durch $\cos (x + y) + 2$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (\cos (x + y) + 2) = 2 - \cos (x + y)$ durch $\cos (x + y) + 2$ .

$\frac{y' (\cos (x + y) + 2)}{\cos (x + y) + 2} = \frac{2}{\cos (x + y) + 2} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

Schritt 1.5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x + y) + 2$ .

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Schritt 1.5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (\cos (x + y) + 2)}{\cos (x + y) + 2} = \frac{2}{\cos (x + y) + 2} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

Schritt 1.5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2}{\cos (x + y) + 2} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

Schritt 1.5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{2}{\cos (x + y) + 2} - \frac{\cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

Schritt 1.5.5.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 - \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 - \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = π$ und $y = π$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $π$ .

$\frac{2 - \cos ((π) + y)}{\cos ((π) + y) + 2}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $π$ .

$\frac{2 - \cos (π + π)}{\cos (π + π) + 2}$

Schritt 1.7.3

Entferne die Klammern.

$\frac{2 - \cos (π + π)}{\cos (π + π) + 2}$

Schritt 1.7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.4.1

Addiere $π$ und $π$ .

$\frac{2 - \cos (2 π)}{\cos (π + π) + 2}$

Schritt 1.7.4.2

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{2 - \cos (0)}{\cos (π + π) + 2}$

Schritt 1.7.4.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 1}{\cos (π + π) + 2}$

Schritt 1.7.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 - 1}{\cos (π + π) + 2}$

Schritt 1.7.4.5

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{1}{\cos (π + π) + 2}$

Schritt 1.7.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.5.1

Addiere $π$ und $π$ .

$\frac{1}{\cos (2 π) + 2}$

Schritt 1.7.5.2

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{1}{\cos (0) + 2}$

Schritt 1.7.5.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{1 + 2}$

Schritt 1.7.5.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{1}{3}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{1}{3}$ und einen gegebenen Punkt $(π, π)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (π) = \frac{1}{3} \cdot (x - (π))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - π = \frac{1}{3} \cdot (x - π)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{1}{3} \cdot (x - π)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - π = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - π)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - π = \frac{1}{3} \cdot (x - π)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - π = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} (- π)$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$y - π = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} (- π)$

Schritt 2.3.1.5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $π$ .

$y - π = \frac{x}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $π$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{x}{3} - \frac{π}{3} + π$

Schritt 2.3.2.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{π}{3} + π \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{π}{3} + \frac{π \cdot 3}{3}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- π + π \cdot 3}{3}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x - π + π \cdot 3}{3}$

Schritt 2.3.2.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$y = \frac{x - π + 3 π}{3}$

Schritt 2.3.2.7

Addiere $- π$ und $3 π$ .

$y = \frac{x + 2 π}{3}$

Schritt 2.3.2.8

Zerlege den Bruch $\frac{x + 2 π}{3}$ in zwei Brüche.

$y = \frac{x}{3} + \frac{2 π}{3}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{2 π}{3}$

Schritt 3