Analysis Beispiele

$y^{2} - x^{2} = 16$ ; $(2, 2 \sqrt{5})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = 2 \sqrt{5}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x^{2}) = \frac{d}{d x} (16)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 y y' - (2 x)$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 y y' - 2 x$

Schritt 1.3

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' - 2 x = 0$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' = 2 x$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = 2 x$ durch $2 y$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = 2 x$ durch $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{2 x}{2 y}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{2 x}{2 y}$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{2 x}{2 y}$

Schritt 1.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{2 x}{2 y}$

Schritt 1.5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 x}{2 y}$

Schritt 1.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 x}{2 y}$

Schritt 1.5.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{x}{y}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 2$ und $y = 2 \sqrt{5}$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$\frac{2}{y}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2}{2 \sqrt{5}}$

Schritt 1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2 \sqrt{5}}$

Schritt 1.7.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{5}}$

Schritt 1.7.4

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 1.7.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 1.7.5.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Schritt 1.7.5.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Schritt 1.7.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.7.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 1.7.5.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 1.7.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.7.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.7.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.7.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.7.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.7.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Schritt 1.7.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{\sqrt{5}}{5}$ und einen gegebenen Punkt $(2, 2 \sqrt{5})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (2 \sqrt{5}) = \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot (x - (2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 2 \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 2 \sqrt{5} = 0 + 0 + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 2 \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5}}{5} x + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.2.2

Kombiniere $\frac{\sqrt{5}}{5}$ und $x$ .

$y - 2 \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5} x}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{\sqrt{5}}{5}$ und $- 2$ .

$y - 2 \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5} x}{5} + \frac{\sqrt{5} \cdot - 2}{5}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $\sqrt{5}$ .

$y - 2 \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5} x}{5} + \frac{- 2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 2.3.1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 2 \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5} x}{5} - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $2 \sqrt{5}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{\sqrt{5} x}{5} - \frac{2 \sqrt{5}}{5} + 2 \sqrt{5}$

Schritt 2.3.2.2

Um $2 \sqrt{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\sqrt{5} x}{5} - \frac{2 \sqrt{5}}{5} + 2 \sqrt{5} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $2 \sqrt{5}$ und $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\sqrt{5} x}{5} - \frac{2 \sqrt{5}}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \cdot 5}{5}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\sqrt{5} x}{5} + \frac{- 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} \cdot 5}{5}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\sqrt{5} x - 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} \cdot 5}{5}$

Schritt 2.3.2.6

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$y = \frac{\sqrt{5} x - 2 \sqrt{5} + 10 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 2.3.2.7

Addiere $- 2 \sqrt{5}$ und $10 \sqrt{5}$ .

$y = \frac{\sqrt{5} x + 8 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 2.3.2.8

Zerlege den Bruch $\frac{\sqrt{5} x + 8 \sqrt{5}}{5}$ in zwei Brüche.

$y = \frac{\sqrt{5} x}{5} + \frac{8 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{\sqrt{5}}{5} x + \frac{8 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 3