Analysis Beispiele

$y = \frac{4 + \csc (x)}{8 - \csc (x)}$ , $(\frac{π}{6}, 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = \frac{π}{6}$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 4 + \csc (x)$ und $g (x) = 8 - \csc (x)$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) \frac{d}{d x} [4 + \csc (x)] - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 + \csc (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)] - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 1.3

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 1.4

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 - \csc (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 1.4.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 1.4.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [- \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 1.4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \csc (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) (- \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 1.4.5

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + 1 (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 1.4.5.2

Mutltipliziere $4 + \csc (x)$ mit $1$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 1.5

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + (4 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + (4 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 1.6.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{- 8 (\csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 1.6.3.1.2

Multipliziere $- \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + 1 \csc (x) (\csc (x) \cot (x)) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 1.6.3.1.2.2

Mutltipliziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc (x) (\csc (x) \cot (x)) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 1.6.3.1.2.3

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{1} (x) \csc (x) \cot (x) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 1.6.3.1.2.4

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) \cot (x) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 1.6.3.1.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 1.6.3.1.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 1.6.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 (\csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 1.6.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - \csc (x) \csc (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 1.6.3.1.5

Multipliziere $- \csc (x) \csc (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.3.1.5.1

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 1.6.3.1.5.2

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 1.6.3.1.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 1.6.3.1.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 1.6.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.3.2.1

Subtrahiere $\csc^{2} (x) \cot (x)$ von $\csc^{2} (x) \cot (x)$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) + 0}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 1.6.3.2.2

Addiere $- 8 \csc (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x)$ und $0$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 1.6.3.3

Subtrahiere $4 \csc (x) \cot (x)$ von $- 8 \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{- 12 \csc (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 1.6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{12 \csc (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 1.7

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{π}{6}$ .

$- \frac{12 \csc (\frac{π}{6}) \cot (\frac{π}{6})}{{(8 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

Schritt 1.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.1.1

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{6})$ ist $2$ .

$- \frac{12 \cdot 2 \cot (\frac{π}{6})}{{(8 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

Schritt 1.8.1.2

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{6})$ ist $\sqrt{3}$ .

$- \frac{12 \cdot 2 \sqrt{3}}{{(8 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

Schritt 1.8.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $2$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{{(8 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

Schritt 1.8.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.2.1

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{6})$ ist $2$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{{(8 - 1 \cdot 2)}^{2}}$

Schritt 1.8.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{{(8 - 2)}^{2}}$

Schritt 1.8.2.3

Subtrahiere $2$ von $8$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{6^{2}}$

Schritt 1.8.2.4

Potenziere $6$ mit $2$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{36}$

Schritt 1.8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $36$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.3.1

Faktorisiere $12$ aus $24 \sqrt{3}$ heraus.

$- \frac{12 (2 \sqrt{3})}{36}$

Schritt 1.8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.3.2.1

Faktorisiere $12$ aus $36$ heraus.

$- \frac{12 (2 \sqrt{3})}{12 (3)}$

Schritt 1.8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{12 (2 \sqrt{3})}{12 \cdot 3}$

Schritt 1.8.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ und einen gegebenen Punkt $(\frac{π}{6}, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} x - \frac{2 \sqrt{3}}{3} (- \frac{π}{6})$

Schritt 2.3.1.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} (- \frac{π}{6})$

Schritt 2.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ in den Zähler.

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{- 2 \sqrt{3}}{3} (- \frac{π}{6})$

Schritt 2.3.1.2.3.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{6}$ in den Zähler.

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{- 2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{- π}{6}$

Schritt 2.3.1.2.3.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{3}$ heraus.

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{- π}{6}$

Schritt 2.3.1.2.3.4

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{- π}{2 (3)}$

Schritt 2.3.1.2.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.1.2.3.6

Forme den Ausdruck um.

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{- \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{- π}{3}$

Schritt 2.3.1.2.4

Mutltipliziere $\frac{- \sqrt{3}}{3}$ mit $\frac{- π}{3}$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{- \sqrt{3} (- π)}{3 \cdot 3}$

Schritt 2.3.1.2.5

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{1 \sqrt{3} π}{3 \cdot 3}$

Schritt 2.3.1.2.5.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{3 \cdot 3}$

Schritt 2.3.1.2.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{9}$

Schritt 2.3.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - 1 = - \frac{2 x \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{9}$

Schritt 2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{2 x \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{9} + 1$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{2 x \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{9} + \frac{9}{9}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{2 x \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π + 9}{9}$

Schritt 2.3.3.3

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{2 \sqrt{3}}{3} x) + \frac{\sqrt{3} π + 9}{9}$

Schritt 2.3.3.4

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} x + \frac{\sqrt{3} π + 9}{9}$

Schritt 3