Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{2} \arctan (x)$ ; $(1, \frac{π}{8})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = \frac{π}{8}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arctan (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x^{2})}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2 \cdot 1 + 2 x^{2}}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 + 2 x^{2}}$

Schritt 1.4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2 x^{2} + 2}$

Schritt 1.4.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{2 (x^{2}) + 2}$

Schritt 1.4.4.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{2 (x^{2}) + 2 (1)}$

Schritt 1.4.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2}) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{1}{2 (x^{2} + 1)}$

Schritt 1.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$\frac{1}{2 ({(1)}^{2} + 1)}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2 (1 + 1)}$

Schritt 1.6.1.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{1}{4}$ und einen gegebenen Punkt $(1, \frac{π}{8})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{π}{8}) = \frac{1}{4} \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{π}{8} = \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{1}{4} \cdot (x - 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{π}{8} = 0 + 0 + \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \frac{π}{8} = \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{π}{8} = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x$ .

$y - \frac{π}{8} = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.5

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 1$ .

$y - \frac{π}{8} = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Schritt 2.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - \frac{π}{8} = \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.2

Addiere $\frac{π}{8}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{4} + \frac{π}{8}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Um $- \frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{8}$

Schritt 2.3.3.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{4} - \frac{2}{4 \cdot 2} + \frac{π}{8}$

Schritt 2.3.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{x}{4} - \frac{2}{8} + \frac{π}{8}$

Schritt 2.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 2 + π}{8}$

Schritt 2.3.3.4

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 1 (2) + π}{8}$

Schritt 2.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $π$ heraus.

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 1 (2) - 1 (- π)}{8}$

Schritt 2.3.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - 1 (- π)$ heraus.

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 1 (2 - π)}{8}$

Schritt 2.3.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x}{4} - \frac{2 - π}{8}$

Schritt 2.3.3.8

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{4} x - \frac{2 - π}{8}$

Schritt 3