Analysis Beispiele

$6 x y + π \sin (y) = 62 π$ , $(3, \frac{7 π}{2})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 3$ und $y = \frac{7 π}{2}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (6 x y + π \sin (y)) = \frac{d}{d x} (62 π)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x y + π \sin (y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x y$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Schritt 1.2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Schritt 1.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Schritt 1.2.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$6 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [π \sin (y)]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π \sin (y)$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$6 (x y' + y) + π \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$6 (x y' + y) + π (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$6 (x y' + y) + π (\cos (u) \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$6 (x y' + y) + π (\cos (y) \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$6 (x y' + y) + π \cos (y) y'$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (x y') + 6 y + π \cos (y) y'$

Schritt 1.2.4.2

Stelle die Terme um.

$6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y$

Schritt 1.3

Da $62 π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $62 π$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y = 0$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.1.1

Stelle die Faktoren in $6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y$ um.

$6 x y' + π y' \cos (y) + 6 y = 0$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $6 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x y' + π y' \cos (y) = - 6 y$

Schritt 1.5.3

Faktorisiere $y'$ aus $6 x y' + π y' \cos (y)$ heraus.

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Schritt 1.5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $6 x y'$ heraus.

$y' (6 x) + π y' \cos (y) = - 6 y$

Schritt 1.5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $π y' \cos (y)$ heraus.

$y' (6 x) + y' (π \cos (y)) = - 6 y$

Schritt 1.5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (6 x) + y' (π \cos (y))$ heraus.

$y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$

Schritt 1.5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$ durch $6 x + π \cos (y)$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$ durch $6 x + π \cos (y)$ .

$\frac{y' (6 x + π \cos (y))}{6 x + π \cos (y)} = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6 x + π \cos (y)$ .

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (6 x + π \cos (y))}{6 x + π \cos (y)} = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Schritt 1.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 3$ und $y = \frac{7 π}{2}$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$- \frac{6 y}{6 (3) + π \cos (y)}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $\frac{7 π}{2}$ .

$- \frac{6 (\frac{7 π}{2})}{6 (3) + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Schritt 1.7.3

Kombiniere $6$ und $\frac{7 π}{2}$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{6 (3) + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Schritt 1.7.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.4.1

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{18 + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Schritt 1.7.4.2

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{18 + π \cos (\frac{3 π}{2})}$

Schritt 1.7.4.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{18 + π \cos (\frac{π}{2})}$

Schritt 1.7.4.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{18 + π \cdot 0}$

Schritt 1.7.4.5

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{18 + 0}$

Schritt 1.7.4.6

Addiere $18$ und $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{18}$

Schritt 1.7.5

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$- \frac{\frac{42 π}{2}}{18}$

Schritt 1.7.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.6.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{42 π}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $42 π$ heraus.

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2}}{18}$

Schritt 1.7.6.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2 (1)}}{18}$

Schritt 1.7.6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2 \cdot 1}}{18}$

Schritt 1.7.6.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\frac{21 π}{1}}{18}$

Schritt 1.7.6.2

Dividiere $21 π$ durch $1$ .

$- \frac{21 π}{18}$

Schritt 1.7.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $21$ und $18$ .

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Schritt 1.7.7.1

Faktorisiere $3$ aus $21 π$ heraus.

$- \frac{3 (7 π)}{18}$

Schritt 1.7.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $18$ heraus.

$- \frac{3 (7 π)}{3 (6)}$

Schritt 1.7.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3 (7 π)}{3 \cdot 6}$

Schritt 1.7.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{7 π}{6}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{7 π}{6}$ und einen gegebenen Punkt $(3, \frac{7 π}{2})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{7 π}{2}) = - \frac{7 π}{6} \cdot (x - (3))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{7 π}{6} \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{7 π}{6} \cdot (x - 3)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{7 π}{2} = 0 + 0 - \frac{7 π}{6} \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{7 π}{6} x - \frac{7 π}{6} \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{7 π}{6}$ .

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} - \frac{7 π}{6} \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7 π}{6}$ in den Zähler.

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{- 7 π}{6} \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.2.3.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{- 7 π}{3 (2)} \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.2.3.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{- 7 π}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{- 7 π}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.2.3.5

Forme den Ausdruck um.

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{- 7 π}{2} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.2.4

Kombiniere $\frac{- 7 π}{2}$ und $- 1$ .

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{- 7 π \cdot - 1}{2}$

Schritt 2.3.1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{7 π}{2}$

Schritt 2.3.1.3

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{7 x π}{6} + \frac{7 π}{2}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $\frac{7 π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{7 x π}{6} + \frac{7 π}{2} + \frac{7 π}{2}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 7 x π}{6} + \frac{7 π + 7 π}{2}$

Schritt 2.3.2.3

Addiere $7 π$ und $7 π$ .

$y = \frac{- 7 x π}{6} + \frac{14 π}{2}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{7 x π}{6} + \frac{14 π}{2}$

Schritt 2.3.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $14 π$ heraus.

$y = - \frac{7 x π}{6} + \frac{2 (7 π)}{2}$

Schritt 2.3.2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = - \frac{7 x π}{6} + \frac{2 (7 π)}{2 (1)}$

Schritt 2.3.2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{7 x π}{6} + \frac{2 (7 π)}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{7 x π}{6} + \frac{7 π}{1}$

Schritt 2.3.2.4.2.2.4

Dividiere $7 π$ durch $1$ .

$y = - \frac{7 x π}{6} + 7 π$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Bewege $x$ .

$y = - \frac{7 π x}{6} + 7 π$

Schritt 2.3.3.2

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{7 π}{6} x) + 7 π$

Schritt 2.3.3.3

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{7 π}{6} x + 7 π$

Schritt 3