Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{7 - 4 x}{5 + x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 7 - 4 x$ und $g (x) = 5 + x$ .

$\frac{(5 + x) \frac{d}{d x} [7 - 4 x] - (7 - 4 x) \frac{d}{d x} [5 + x]}{{(5 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{(5 + x) (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 4 x]) - (7 - 4 x) \frac{d}{d x} [5 + x]}{{(5 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(5 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]) - (7 - 4 x) \frac{d}{d x} [5 + x]}{{(5 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{(5 + x) \frac{d}{d x} [- 4 x] - (7 - 4 x) \frac{d}{d x} [5 + x]}{{(5 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(5 + x) (- 4 \frac{d}{d x} [x]) - (7 - 4 x) \frac{d}{d x} [5 + x]}{{(5 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(5 + x) (- 4 \cdot 1) - (7 - 4 x) \frac{d}{d x} [5 + x]}{{(5 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{(5 + x) \cdot - 4 - (7 - 4 x) \frac{d}{d x} [5 + x]}{{(5 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $5 + x$ .

$\frac{- 4 \cdot (5 + x) - (7 - 4 x) \frac{d}{d x} [5 + x]}{{(5 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- 4 (5 + x) - (7 - 4 x) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x])}{{(5 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{- 4 (5 + x) - (7 - 4 x) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(5 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- 4 (5 + x) - (7 - 4 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(5 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{- 4 (5 + x) - (7 - 4 x) \cdot 1}{{(5 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 4 (5 + x) - (7 - 4 x)}{{(5 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 4 \cdot 5 - 4 x - (7 - 4 x)}{{(5 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 4 \cdot 5 - 4 x - 1 \cdot 7 - (- 4 x)}{{(5 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$\frac{- 20 - 4 x - 1 \cdot 7 - (- 4 x)}{{(5 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{- 20 - 4 x - 7 - (- 4 x)}{{(5 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{- 20 - 4 x - 7 + 4 x}{{(5 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 20 - 4 x - 7 + 4 x$ .

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Schritt 1.1.3.3.2.1

Addiere $- 4 x$ und $4 x$ .

$\frac{- 20 + 0 - 7}{{(5 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.2.2

Addiere $- 20$ und $0$ .

$\frac{- 20 - 7}{{(5 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.3

Subtrahiere $7$ von $- 20$ .

$\frac{- 27}{{(5 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{27}{{(5 + x)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{27}{{(5 + x)}^{2}}$ .

$- \frac{27}{{(5 + x)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{27}{{(5 + x)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{27}{{(5 + x)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$27 = 0$

Schritt 2.3

Da $27 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{27}{{(5 + x)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(5 + x)}^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Setze $5 + x$ gleich $0$ .

$5 + x = 0$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 4

Werte $\frac{7 - 4 x}{5 + x}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = - 5$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- 5$ .

$\frac{7 - 4 \cdot - 5}{5 - 5}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Entferne die Klammern.

$\frac{7 - 4 \cdot - 5}{5 - 5}$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$\frac{7 - 4 \cdot - 5}{0}$

Schritt 4.1.2.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 5

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden