Analysis Beispiele

$f (x) = \sin (x) \cos (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.4

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.7

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)$

Schritt 1.1.8

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

Schritt 1.1.9

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Schritt 1.1.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

Schritt 1.1.11

Addiere $1$ und $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Schritt 1.1.12

Vereinfache.

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Schritt 1.1.12.1

Stelle $- \sin^{2} (x)$ und $\cos^{2} (x)$ um.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Schritt 1.1.12.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cos (x)$ und $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 1.1.12.3

Multipliziere $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.12.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 1.1.12.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 1.1.12.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 1.1.12.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Schritt 1.1.12.4.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\cos (x) (- \sin (x))$ und $\sin (x) \cos (x)$ neu an.

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 1.1.12.4.2

Addiere $- \cos (x) \sin (x)$ und $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 1.1.12.4.3

Addiere $\cos (x) \cos (x)$ und $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 1.1.12.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.12.5.1

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 1.1.12.5.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 1.1.12.5.1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 1.1.12.5.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 1.1.12.5.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 1.1.12.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Schritt 1.1.12.5.3

Multipliziere $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 1.1.12.5.3.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Schritt 1.1.12.5.3.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Schritt 1.1.12.5.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Schritt 1.1.12.5.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Schritt 1.1.12.6

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$f' (x) = \cos (2 x)$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\cos (2 x)$ .

$\cos (2 x)$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\cos (2 x) = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\cos (2 x) = 0$

Schritt 2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 x = \arccos (0)$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Schritt 2.4

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.4.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.4.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.4.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.6.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.6.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 2.6.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 2.6.1.5

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.6.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{3 π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{3 π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 2.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 2.6.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 2.6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.6.2.3.2

Multipliziere $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.6.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.6.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 2.7

Ermittele die Periode von $\cos (2 x)$ .

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Schritt 2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.7.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 2.7.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 2.8

Die Periode der Funktion $\cos (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $\sin (x) \cos (x)$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{π}{4}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{π}{4}$ .

$\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 4.1.2.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Schritt 4.1.2.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.1.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Schritt 4.1.2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Schritt 4.1.2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 4.1.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 4.1.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2^{1}}{4}$

Schritt 4.1.2.4.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2}{4}$

Schritt 4.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 4.1.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{4}$

Schritt 4.1.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $\frac{3 π}{4}$ .

$\sin (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

Schritt 4.2.2.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{3 π}{4})$

Schritt 4.2.2.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- \cos (\frac{π}{4}))$

Schritt 4.2.2.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 4.2.2.5

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Schritt 4.2.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.2.5.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.2.5.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.2.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.2.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.2.5.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Schritt 4.2.2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.2.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Schritt 4.2.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Schritt 4.2.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 4.2.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 4.2.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2^{1}}{4}$

Schritt 4.2.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{2}{4}$

Schritt 4.2.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 4.2.2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{2 (1)}{4}$

Schritt 4.2.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2}$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(\frac{π}{4} + π n, \frac{1}{2}), (\frac{3 π}{4} + π n, - \frac{1}{2})$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5