Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{32}{x^{2} - 6 x - 7}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.1.1

Da $32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{32}{x^{2} - 6 x - 7}$ nach $x$ gleich $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}]$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$ als ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1}$ um.

$32 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} - 6 x - 7$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 6 x - 7$ .

$32 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7])$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7])$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 6 x - 7$ .

$32 (- {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7])$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $32$ .

$- 32 ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7])$

Schritt 1.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 6 x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 1.1.3.4

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 1.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 1.1.3.6

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 1.1.3.7

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 + 0)$

Schritt 1.1.3.8

Addiere $2 x - 6$ und $0$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6)$

Schritt 1.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 32 \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$

Schritt 1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.5.1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.5.1.1

Kombiniere $- 32$ und $\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ .

$\frac{- 32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$

Schritt 1.1.5.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$

Schritt 1.1.5.2

Stelle die Faktoren von $- \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$ um.

$f' (x) = - (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ .

$- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 6 = 0$

$\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3

Setze $2 x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $2 x - 6$ gleich $0$ .

$2 x - 6 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $2 x - 6 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 6$

Schritt 2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 6$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 6$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Schritt 2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Schritt 2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{6}{2}$

Schritt 2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.2.3.1

Dividiere $6$ durch $2$ .

$x = 3$

Schritt 2.4

Setze $\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ gleich $0$ .

$\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$32 = 0$

Schritt 2.4.2.2

Da $32 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$ wahr machen.

$x = 3$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x^{2} - 6 x - 7)}^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $x^{2} - 6 x - 7$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.1.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 7$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 7, 1$

Schritt 3.2.1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

${((x - 7) (x + 1))}^{2} = 0$

Schritt 3.2.1.2

Wende die Produktregel auf $(x - 7) (x + 1)$ an.

${(x - 7)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 3.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x - 7)}^{2} = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 3.2.3

Setze ${(x - 7)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.3.1

Setze ${(x - 7)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 7)}^{2} = 0$

Schritt 3.2.3.2

Löse ${(x - 7)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.3.2.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 3.2.3.2.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 3.2.4

Setze ${(x + 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.4.1

Setze ${(x + 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 3.2.4.2

Löse ${(x + 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.4.2.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 3.2.4.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 3.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x - 7)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 7, - 1$

Schritt 3.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 1, x = 7$

Schritt 4

Werte $\frac{32}{x^{2} - 6 x - 7}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 3$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $3$ .

$\frac{32}{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 - 7}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{32}{9 - 6 \cdot 3 - 7}$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$\frac{32}{9 - 18 - 7}$

Schritt 4.1.2.1.3

Subtrahiere $18$ von $9$ .

$\frac{32}{- 9 - 7}$

Schritt 4.1.2.1.4

Subtrahiere $7$ von $- 9$ .

$\frac{32}{- 16}$

Schritt 4.1.2.2

Dividiere $32$ durch $- 16$ .

$- 2$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - 1$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$\frac{32}{{(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 - 7}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{32}{1 - 6 \cdot - 1 - 7}$

Schritt 4.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$\frac{32}{1 + 6 - 7}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.2.2.1

Addiere $1$ und $6$ .

$\frac{32}{7 - 7}$

Schritt 4.2.2.2.2

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$\frac{32}{0}$

Schritt 4.2.2.2.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{32}{0}$

Schritt 4.2.2.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.3

Berechne bei $x = 7$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $7$ .

$\frac{32}{{(7)}^{2} - 6 \cdot 7 - 7}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$\frac{32}{49 - 6 \cdot 7 - 7}$

Schritt 4.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $7$ .

$\frac{32}{49 - 42 - 7}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 4.3.2.2.1

Subtrahiere $42$ von $49$ .

$\frac{32}{7 - 7}$

Schritt 4.3.2.2.2

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$\frac{32}{0}$

Schritt 4.3.2.2.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{32}{0}$

Schritt 4.3.2.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(3, - 2)$

Schritt 5