Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} + \frac{120}{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + \frac{120}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{120}{x}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $120$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{120}{x}$ nach $x$ gleich $120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x + 120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.1.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$2 x + 120 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 x + 120 (- x^{- 2})$

Schritt 1.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $120$ .

$2 x - 120 x^{- 2}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 120 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.3.2.1

Kombiniere $- 120$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{- 120}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 2 x - \frac{120}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 x - \frac{120}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{120}{x^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 x - \frac{120}{x^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 x - \frac{120}{x^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x^{2}, 1$

Schritt 2.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $2 x - \frac{120}{x^{2}} = 0$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $2 x - \frac{120}{x^{2}} = 0$ mit $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{120}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.2.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{120}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{120}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{2 + 1} - \frac{120}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 x^{3} - \frac{120}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{120}{x^{2}}$ in den Zähler.

$2 x^{3} + \frac{- 120}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{3} + \frac{- 120}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{3} - 120 = 0 x^{2}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 120 = 0$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Addiere $120$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{3} = 120$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $120$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{3} - 120 = 0$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3} - 120$ heraus.

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Schritt 2.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$2 (x^{3}) - 120 = 0$

Schritt 2.4.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 120$ heraus.

$2 x^{3} + 2 \cdot - 60 = 0$

Schritt 2.4.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3} + 2 \cdot - 60$ heraus.

$2 (x^{3} - 60) = 0$

Schritt 2.4.4

Teile jeden Ausdruck in $2 (x^{3} - 60) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (x^{3} - 60) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (x^{3} - 60)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x^{3} - 60)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.4.4.2.1.2

Dividiere $x^{3} - 60$ durch $1$ .

$x^{3} - 60 = \frac{0}{2}$

Schritt 2.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.4.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x^{3} - 60 = 0$

Schritt 2.4.5

Addiere $60$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = 60$

Schritt 2.4.6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{60}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{120}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Werte $x^{2} + \frac{120}{x}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = \sqrt[3]{60}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\sqrt[3]{60}$ .

${(\sqrt[3]{60})}^{2} + \frac{120}{\sqrt[3]{60}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Schreibe ${\sqrt[3]{60}}^{2}$ als $\sqrt[3]{60^{2}}$ um.

$\sqrt[3]{60^{2}} + \frac{120}{\sqrt[3]{60}}$

Schritt 4.1.2.1.2

Potenziere $60$ mit $2$ .

$\sqrt[3]{3600} + \frac{120}{\sqrt[3]{60}}$

Schritt 4.1.2.1.3

Schreibe $3600$ als $2^{3} \cdot 450$ um.

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Schritt 4.1.2.1.3.1

Faktorisiere $8$ aus $3600$ heraus.

$\sqrt[3]{8 (450)} + \frac{120}{\sqrt[3]{60}}$

Schritt 4.1.2.1.3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\sqrt[3]{2^{3} \cdot 450} + \frac{120}{\sqrt[3]{60}}$

Schritt 4.1.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120}{\sqrt[3]{60}}$

Schritt 4.1.2.1.5

Mutltipliziere $\frac{120}{\sqrt[3]{60}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{60}}^{2}}{{\sqrt[3]{60}}^{2}}$ .

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120}{\sqrt[3]{60}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{60}}^{2}}{{\sqrt[3]{60}}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.1.6.1

Mutltipliziere $\frac{120}{\sqrt[3]{60}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{60}}^{2}}{{\sqrt[3]{60}}^{2}}$ .

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{\sqrt[3]{60} {\sqrt[3]{60}}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.6.2

Potenziere $\sqrt[3]{60}$ mit $1$ .

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{{\sqrt[3]{60}}^{1} {\sqrt[3]{60}}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{{\sqrt[3]{60}}^{1 + 2}}$

Schritt 4.1.2.1.6.4

Addiere $1$ und $2$ .

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{{\sqrt[3]{60}}^{3}}$

Schritt 4.1.2.1.6.5

Schreibe ${\sqrt[3]{60}}^{3}$ als $60$ um.

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Schritt 4.1.2.1.6.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{60}$ als $60^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{{(60^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 4.1.2.1.6.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{60^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 4.1.2.1.6.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{60^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 4.1.2.1.6.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.2.1.6.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{60^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 4.1.2.1.6.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{60^{1}}$

Schritt 4.1.2.1.6.5.5

Berechne den Exponenten.

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{60}$

Schritt 4.1.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $120$ und $60$ .

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Schritt 4.1.2.1.7.1

Faktorisiere $60$ aus $120 {\sqrt[3]{60}}^{2}$ heraus.

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{60 (2 {\sqrt[3]{60}}^{2})}{60}$

Schritt 4.1.2.1.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1.7.2.1

Faktorisiere $60$ aus $60$ heraus.

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{60 (2 {\sqrt[3]{60}}^{2})}{60 (1)}$

Schritt 4.1.2.1.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{60 (2 {\sqrt[3]{60}}^{2})}{60 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2.1.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{2 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{1}$

Schritt 4.1.2.1.7.2.4

Dividiere $2 {\sqrt[3]{60}}^{2}$ durch $1$ .

$2 \sqrt[3]{450} + 2 {\sqrt[3]{60}}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.8

Schreibe ${\sqrt[3]{60}}^{2}$ als $\sqrt[3]{60^{2}}$ um.

$2 \sqrt[3]{450} + 2 \sqrt[3]{60^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.9

Potenziere $60$ mit $2$ .

$2 \sqrt[3]{450} + 2 \sqrt[3]{3600}$

Schritt 4.1.2.1.10

Schreibe $3600$ als $2^{3} \cdot 450$ um.

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Schritt 4.1.2.1.10.1

Faktorisiere $8$ aus $3600$ heraus.

$2 \sqrt[3]{450} + 2 \sqrt[3]{8 (450)}$

Schritt 4.1.2.1.10.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$2 \sqrt[3]{450} + 2 \sqrt[3]{2^{3} \cdot 450}$

Schritt 4.1.2.1.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt[3]{450} + 2 (2 \sqrt[3]{450})$

Schritt 4.1.2.1.12

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 \sqrt[3]{450} + 4 \sqrt[3]{450}$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $2 \sqrt[3]{450}$ und $4 \sqrt[3]{450}$ .

$6 \sqrt[3]{450}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{2} + \frac{120}{0}$

Schritt 4.2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(\sqrt[3]{60}, 6 \sqrt[3]{450})$

Schritt 5