Analysis Beispiele

$\tan (x) + \cot (x)$

Schritt 1

Schreibe $\tan (x) + \cot (x)$ als Funktion.

$f (x) = \tan (x) + \cot (x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \tan (x) + \cot (x) d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \tan (x) d x + \int \cot (x) d x$

Schritt 5

Das Integral von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C + \int \cot (x) d x$

Schritt 6

Das Integral von $\cot (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C + \ln (| \sin (x) |) + C$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

$\ln (| \sec (x) |) + \ln (| \sin (x) |) + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \sec (x) | | \sin (x) |) + C$

Schritt 7.2.2

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| \sec (x) \sin (x) |) + C$

Schritt 8

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \tan (x) + \cot (x)$ .

$F (x) =$ $\ln (| \sec (x) \sin (x) |) + C$