Analysis Beispiele

$\frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{x^{3}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{x^{3}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{x^{3}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{x^{3}} d x$

Schritt 4

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (3 x^{2} - 2 x + 3) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 x^{2} - 2 x + 3) x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int (3 x^{2} - 2 x + 3) x^{- 3} d x$

Schritt 6

Multipliziere $(3 x^{2} - 2 x + 3) x^{- 3}$ aus.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (3 x^{2} - 2 x) x^{- 3} + 3 x^{- 3} d x$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 3 x^{2} x^{- 3} - 2 x \cdot x^{- 3} + 3 x^{- 3} d x$

Schritt 6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 3 x^{2 - 3} - 2 x \cdot x^{- 3} + 3 x^{- 3} d x$

Schritt 6.4

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\int 3 x^{- 1} - 2 x \cdot x^{- 3} + 3 x^{- 3} d x$

Schritt 6.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 3 x^{- 1} - 2 (x^{1} x^{- 3}) + 3 x^{- 3} d x$

Schritt 6.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 3 x^{- 1} - 2 x^{1 - 3} + 3 x^{- 3} d x$

Schritt 6.7

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\int 3 x^{- 1} - 2 x^{- 2} + 3 x^{- 3} d x$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 3 x^{- 1} d x + \int - 2 x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x$

Schritt 8

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int x^{- 1} d x + \int - 2 x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x$

Schritt 9

Das Integral von $x^{- 1}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + \int - 2 x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x$

Schritt 10

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + \int 3 x^{- 3} d x$

Schritt 12

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + 3 \int x^{- 3} d x$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Vereinfache.

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Schritt 14.1.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Schritt 14.1.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Schritt 14.2

Vereinfache.

$3 \ln (| x |) + \frac{2}{x} + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Schritt 14.3

Vereinfache.

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Schritt 14.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 \ln (| x |) + \frac{2}{x} - 3 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 14.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$3 \ln (| x |) + \frac{2}{x} + \frac{- 3}{2 x^{2}} + C$

Schritt 14.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 \ln (| x |) + \frac{2}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + C$

Schritt 15

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $3 \ln (| x |) + \frac{2}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + C$