Analysis Beispiele

$\frac{1}{1 + \cos (x)}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{1 + \cos (x)}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{1 + \cos (x)} d x$

Schritt 4

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (x)$ nach $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ zu transformieren.

$\int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Schritt 5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an, um $1$ in $\sin^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2})$ umzuwandeln.

$\int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Subtrahiere ${\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ von ${\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{\cos (\frac{x}{2})}^{2} + {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 0} d x$

Schritt 6.2

Addiere ${\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ und ${\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 0} d x$

Schritt 6.3

Addiere $2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ und $0$ .

$\int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Schritt 7

Multipliziere das Argument mit $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$

$\int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Schritt 8

Kombinieren.

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Schritt 9

Mutltipliziere ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ mit $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Schritt 10

Schreibe $\sec (\frac{x}{2})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ an.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

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Schritt 11.2.1

Faktorisiere $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ aus $2 \cos^{2} (\frac{x}{2})$ heraus.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Schritt 11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Schritt 11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cdot 1^{2}} d x$

Schritt 11.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cdot 1} d x$

Schritt 11.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2} d x$

Schritt 12

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Schritt 13

Sei $u = \frac{x}{2}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{2} d x$ , folglich $2 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 13.1

Es sei $u = \frac{x}{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 13.1.1

Differenziere $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 13.1.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 13.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 13.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 13.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) \cdot 2 d u$

Schritt 14.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u) d u$

Schritt 15

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u) d u)$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

Schritt 16.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 16.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

Schritt 16.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int \sec^{2} (u) d u$

Schritt 16.3

Mutltipliziere $\int \sec^{2} (u) d u$ mit $1$ .

$\int \sec^{2} (u) d u$

Schritt 17

Da die Ableitung von $\tan (u)$ gleich $\sec^{2} (u)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (u)$ gleich $\tan (u)$ .

$\tan (u) + C$

Schritt 18

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$\tan (\frac{x}{2}) + C$

Schritt 19

Stelle die Terme um.

$\tan (\frac{1}{2} x) + C$

Schritt 20

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{1 + \cos (x)}$ .

$F (x) =$ $\tan (\frac{1}{2} x) + C$