Analysis Beispiele

$\sin (\sqrt{x})$

Schritt 1

Schreibe $\sin (\sqrt{x})$ als Funktion.

$f (x) = \sin (\sqrt{x})$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sin (\sqrt{x}) d x$

Schritt 4

Sei $u = \sqrt{x}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , folglich $2 x^{\frac{1}{2}} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

$\int 2 u \sin (u) d u$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int u \sin (u) d u$

Schritt 6

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = u$ und $dv = \sin (u)$ .

$2 (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\int \cos (u) d u$ mit $1$ .

$2 (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

Schritt 9

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$2 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

Schritt 10

Schreibe $2 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ als $2 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ um.

$2 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $\sqrt{x}$ .

$2 (- \sqrt{x} \cos (\sqrt{x}) + \sin (\sqrt{x})) + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sin (\sqrt{x})$ .

$F (x) =$ $2 (- \sqrt{x} \cos (\sqrt{x}) + \sin (\sqrt{x})) + C$