Analysis Beispiele

$\frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} + 2 x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$\int \frac{x^{2} x + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\int \frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x + x^{2} \cdot 2$ heraus.

$\int \frac{x^{2} (x + 2)}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 5.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\int x^{2} (x + 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 5.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int x^{- \frac{1}{2}} x^{2} (x + 2) d x$

Schritt 5.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{- \frac{1}{2} + 2} (x + 2) d x$

Schritt 5.3.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} (x + 2) d x$

Schritt 5.3.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} (x + 2) d x$

Schritt 5.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} (x + 2) d x$

Schritt 5.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int x^{\frac{- 1 + 4}{2}} (x + 2) d x$

Schritt 5.3.6.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} (x + 2) d x$

Schritt 6

Multipliziere $x^{\frac{3}{2}} (x + 2)$ aus.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{\frac{3}{2}} x + x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d x$

Schritt 6.2

Stelle $x^{\frac{3}{2}}$ und $2$ um.

$\int x^{\frac{3}{2}} x + 2 \cdot x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 6.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} x^{1} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{\frac{3}{2} + 1} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 6.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 6.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{\frac{3 + 2}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 6.7

Addiere $3$ und $2$ .

$\int x^{\frac{5}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 6.8

Stelle $x^{\frac{5}{2}}$ und $2 x^{\frac{3}{2}}$ um.

$\int 2 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}} d x$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{\frac{5}{2}} d x$

Schritt 8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{\frac{5}{2}} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int x^{\frac{5}{2}} d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{5}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

$\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Schritt 11.3

Stelle die Terme um.

$\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$