Analysis Beispiele

$x + 4 - 4 \sqrt{x}$

Schritt 1

Schreibe $x + 4 - 4 \sqrt{x}$ als Funktion.

$f (x) = x + 4 - 4 \sqrt{x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x + 4 - 4 \sqrt{x} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x d x + \int 4 d x + \int - 4 \sqrt{x} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int 4 d x + \int - 4 \sqrt{x} d x$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 x + C + \int - 4 \sqrt{x} d x$

Schritt 7

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 x + C - 4 \int \sqrt{x} d x$

Schritt 8

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 x + C - 4 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 x + C - 4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 x + C - 4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$

Schritt 10.2

Vereinfache.

$\frac{1}{2} x^{2} + 4 x - 4 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 10.3

Vereinfache.

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Schritt 10.3.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 4 x + \frac{- 4 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 4 x + \frac{- 8}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 10.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{2} + 4 x - \frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x + 4 - 4 \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 4 x - \frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$