Analysis Beispiele

$4 x (x^{3} - \frac{1}{4})$

Schritt 1

Schreibe $4 x (x^{3} - \frac{1}{4})$ als Funktion.

$f (x) = 4 x (x^{3} - \frac{1}{4})$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 4 x (x^{3} - \frac{1}{4}) d x$

Schritt 4

Multipliziere $4 x (x^{3} - \frac{1}{4})$ .

$\int 4 x \cdot x^{3} + 4 x (- \frac{1}{4}) d x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$\int 4 (x^{3} x) + 4 x (- \frac{1}{4}) d x$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 5.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 4 (x^{3} x^{1}) + 4 x (- \frac{1}{4}) d x$

Schritt 5.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 4 x^{3 + 1} + 4 x (- \frac{1}{4}) d x$

Schritt 5.1.3

Addiere $3$ und $1$ .

$\int 4 x^{4} + 4 x (- \frac{1}{4}) d x$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\int 4 x^{4} - 4 x \frac{1}{4} d x$

Schritt 5.3

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{4}$ .

$\int 4 x^{4} + x \frac{- 4}{4} d x$

Schritt 5.4

Kombiniere $x$ und $\frac{- 4}{4}$ .

$\int 4 x^{4} + \frac{x \cdot - 4}{4} d x$

Schritt 5.5

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\int 4 x^{4} + \frac{- 4 \cdot x}{4} d x$

Schritt 5.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $4$ .

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$\int 4 x^{4} + \frac{4 (- x)}{4} d x$

Schritt 5.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\int 4 x^{4} + \frac{4 (- x)}{4 (1)} d x$

Schritt 5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int 4 x^{4} + \frac{4 (- x)}{4 \cdot 1} d x$

Schritt 5.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int 4 x^{4} + \frac{- x}{1} d x$

Schritt 5.6.2.4

Dividiere $- x$ durch $1$ .

$\int 4 x^{4} - x d x$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 4 x^{4} d x + \int - x d x$

Schritt 7

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int x^{4} d x + \int - x d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - x d x$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - \int x d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

$4 (\frac{1}{5}) x^{5} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 11.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{4}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 4 x (x^{3} - \frac{1}{4})$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{2} + C$