Analysis Beispiele

$\frac{1}{1 + 25 x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{1 + 25 x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{1 + 25 x^{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{1 + 25 x^{2}} d x$

Schritt 4

Faktorisiere $25$ aus $1 + 25 x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $25$ aus $1$ heraus.

$\int \frac{1}{25 (\frac{1}{25}) + 25 x^{2}} d x$

Schritt 4.2

Faktorisiere $25$ aus $25 x^{2}$ heraus.

$\int \frac{1}{25 (\frac{1}{25}) + 25 (x^{2})} d x$

Schritt 4.3

Faktorisiere $25$ aus $25 (\frac{1}{25}) + 25 (x^{2})$ heraus.

$\int \frac{1}{25 (\frac{1}{25} + x^{2})} d x$

Schritt 5

Da $\frac{1}{25}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{25}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{25} \int \frac{1}{\frac{1}{25} + x^{2}} d x$

Schritt 6

Schreibe $\frac{1}{25}$ als ${(\frac{1}{5})}^{2}$ um.

$\frac{1}{25} \int \frac{1}{{(\frac{1}{5})}^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{{(\frac{1}{5})}^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\frac{1}{\frac{1}{5}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{5}}) + C$ .

$\frac{1}{25} (\frac{1}{\frac{1}{5}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{5}}) + C)$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{5}$ zu dividieren.

$\frac{1}{25} (1 \cdot 5 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{5}}) + C)$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{1}{25} (5 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{5}}) + C)$

Schritt 8.1.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{5}$ zu dividieren.

$\frac{1}{25} (5 \arctan (x \cdot 5) + C)$

Schritt 8.1.4

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{25} (5 \arctan (5 x) + C)$

Schritt 8.2

Schreibe $\frac{1}{25} (5 \arctan (5 x) + C)$ als $\frac{1}{25} \cdot 5 \arctan (5 x) + C$ um.

$\frac{1}{25} \cdot 5 \arctan (5 x) + C$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Kombiniere $\frac{1}{25}$ und $5$ .

$\frac{5}{25} \arctan (5 x) + C$

Schritt 8.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $25$ .

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 (1)}{25} \arctan (5 x) + C$

Schritt 8.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} \arctan (5 x) + C$

Schritt 8.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} \arctan (5 x) + C$

Schritt 8.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5} \arctan (5 x) + C$

Schritt 9

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{1 + 25 x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{5} \arctan (5 x) + C$