Analysis Beispiele

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x} d x$

Schritt 4

Sei $x = \tan (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ positiv ist.

$\int \frac{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Vereinfache $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

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Schritt 5.1.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{\sqrt{\sec^{2} (t)}}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 5.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Schreibe $\tan (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 5.2.2

Schreibe $\sec (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 5.2.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ zu dividieren.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (t)$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 5.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 5.2.5

Wandle von $\frac{1}{\sin (t)}$ nach $\csc (t)$ um.

$\int \csc (t) \sec^{2} (t) d t$

Schritt 6

Potenziere $\csc (t)$ mit $1$ .

$\int \csc^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

Schritt 7

Schreibe $\sec^{2} (t)$ in $1 + \tan^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int \csc^{1} (t) (1 + \tan^{2} (t)) d t$

Schritt 8

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \csc^{1} (t) \cdot 1 + \csc^{1} (t) \tan^{2} (t) d t$

Schritt 8.2

Vereinfache jeden Term.

$\int \csc (t) + \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \csc (t) d t + \int \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

Schritt 10

Das Integral von $\csc (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

Schritt 11

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (t)$ an.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} \tan^{2} (t) d t$

Schritt 12

Schreibe $\tan (t)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)})}^{2} d t$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ an.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{2}} d t$

Schritt 13.2

Kombinieren.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1 {\sin (t)}^{2}}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

Schritt 13.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${\sin (t)}^{2}$ und $\sin (t)$ .

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Schritt 13.3.1

Faktorisiere $\sin (t)$ aus $1 {\sin (t)}^{2}$ heraus.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

Schritt 13.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.3.2.1

Faktorisiere $\sin (t)$ aus $\sin (t) {\cos (t)}^{2}$ heraus.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) ({\cos (t)}^{2})} d t$

Schritt 13.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

Schritt 13.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1 \sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} d t$

Schritt 13.4

Mutltipliziere $\sin (t)$ mit $1$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

Schritt 14

Multipliziere mit $1$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) \cdot 1}{\cos^{2} (t)} d t$

Schritt 15

Faktorisiere $\cos (t)$ aus $\cos^{2} (t)$ heraus.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) \cdot 1}{\cos (t) \cos (t)} d t$

Schritt 16

Separiere Brüche.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} d t$

Schritt 17

Wandle von $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ nach $\tan (t)$ um.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \tan (t) \frac{1}{\cos (t)} d t$

Schritt 18

Wandle von $\frac{1}{\cos (t)}$ nach $\sec (t)$ um.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \tan (t) \sec (t) d t$

Schritt 19

Da die Ableitung von $\sec (t)$ gleich $\tan (t) \sec (t)$ ist, ist das Integral von $\tan (t) \sec (t)$ gleich $\sec (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \sec (t) + C$

Schritt 20

Vereinfache.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + \sec (t) + C$

Schritt 21

Ersetze alle $t$ durch $\arctan (x)$ .

$\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + \sec (\arctan (x)) + C$

Schritt 22

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ .

$F (x) =$ $\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + \sec (\arctan (x)) + C$