Analysis Beispiele

$\frac{1 - \sqrt{u}}{\sqrt{u}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1 - \sqrt{u}}{\sqrt{u}}$ als Funktion.

$f (u) = \frac{1 - \sqrt{u}}{\sqrt{u}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (u)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (u)$ ermittelt wird.

$F (u) = \int f (u) d u$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (u) = \int \frac{1 - \sqrt{u}}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1 - u^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1 - u^{\frac{1}{2}}}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 6

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (1 - u^{\frac{1}{2}}) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 7

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 - u^{\frac{1}{2}}) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int (1 - u^{\frac{1}{2}}) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int (1 - u^{\frac{1}{2}}) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 1 u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $u^{- \frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 8.3

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int u^{- \frac{1}{2}} - (u^{\frac{1}{2}} u^{- \frac{1}{2}}) d u$

Schritt 8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} d u$

Schritt 8.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1 - 1}{2}} d u$

Schritt 8.6

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{0}{2}} d u$

Schritt 8.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 8.7.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{2 (0)}{2}} d u$

Schritt 8.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} d u$

Schritt 8.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} d u$

Schritt 8.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{0}{1}} d u$

Schritt 8.7.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{0} d u$

Schritt 8.8

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 d u$

Schritt 8.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - 1 d u$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - 1 d u$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int - 1 d u$

Schritt 11

Wende die Konstantenregel an.

$2 u^{\frac{1}{2}} + C - u + C$

Schritt 12

Vereinfache.

$2 u^{\frac{1}{2}} - u + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (u) = \frac{1 - \sqrt{u}}{\sqrt{u}}$ .

$F (u) =$ $2 u^{\frac{1}{2}} - u + C$