Analysis Beispiele

$\sqrt{2 - x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\sqrt{2 - x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sqrt{2 - x^{2}} d x$

Schritt 4

Sei $x = \sqrt{2} \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \sqrt{2} \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sqrt{2} \cos (t)$ positiv ist.

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2} \sin (t))}^{2}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Vereinfache $\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2} \sin (t))}^{2}}$ .

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Schritt 5.1.1

Wende die Produktregel auf $\sqrt{2} \sin (t)$ an.

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 - ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere ${\sqrt{2}}^{2}$ aus $- ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{2}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere ${\sqrt{2}}^{2}$ aus ${\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{2}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))$ heraus.

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot (1 - (\sin^{2} (t)))} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int \sqrt{2^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \sqrt{2^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \sqrt{2^{1} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.6.5

Berechne den Exponenten.

$\int \sqrt{2 \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

$\int \sqrt{2 \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.7

Stelle $2$ und $\cos^{2} (t)$ um.

$\int \sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 2} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\int \cos (t) \sqrt{2} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) \sqrt{2} \sqrt{2} d t$

Schritt 5.2.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) \sqrt{2} \sqrt{2} d t$

Schritt 5.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} \sqrt{2} \sqrt{2} d t$

Schritt 5.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \cos^{2} (t) \sqrt{2} \sqrt{2} d t$

Schritt 5.2.5

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\int \cos^{2} (t) ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) d t$

Schritt 5.2.6

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\int \cos^{2} (t) ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) d t$

Schritt 5.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \cos^{2} (t) {\sqrt{2}}^{1 + 1} d t$

Schritt 5.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \cos^{2} (t) {\sqrt{2}}^{2} d t$

Schritt 5.2.9

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.2.9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \cos^{2} (t) {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} d t$

Schritt 5.2.9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} d t$

Schritt 5.2.9.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2^{\frac{2}{2}} d t$

Schritt 5.2.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2^{\frac{2}{2}} d t$

Schritt 5.2.9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2^{1} d t$

Schritt 5.2.9.5

Berechne den Exponenten.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2 d t$

Schritt 5.2.10

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos^{2} (t)$ .

$\int 2 \cos^{2} (t) d t$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \cos^{2} (t) d t$

Schritt 7

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (t)$ als $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ neu zu schreiben.

$2 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 9.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $\int 1 + \cos (2 t) d t$ mit $1$ .

$\int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 10

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d t + \int \cos (2 t) d t$

Schritt 11

Wende die Konstantenregel an.

$t + C + \int \cos (2 t) d t$

Schritt 12

Sei $u = 2 t$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 12.1

Es sei $u = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 12.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 12.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 12.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 12.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 12.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 13

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Schritt 14

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

Schritt 15

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C)$

Schritt 16

Vereinfache.

$t + \frac{1}{2} \sin (u) + C$

Schritt 17

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 17.1

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})$ .

$\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (u) + C$

Schritt 17.2

Ersetze alle $u$ durch $2 t$ .

$\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 t) + C$

Schritt 17.3

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})$ .

$\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Schritt 18

Vereinfache.

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Schritt 18.1

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Schritt 18.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 18.2.1

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Schritt 18.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Schritt 18.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Schritt 18.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Schritt 18.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Schritt 18.2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 18.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Schritt 18.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Schritt 18.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Schritt 18.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 18.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Schritt 18.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{1}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Schritt 18.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Schritt 18.3

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})) + C$

Schritt 18.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 18.4.1

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})) + C$

Schritt 18.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})) + C$

Schritt 18.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})) + C$

Schritt 18.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})) + C$

Schritt 18.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})) + C$

Schritt 18.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 18.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})) + C$

Schritt 18.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})) + C$

Schritt 18.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})) + C$

Schritt 18.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 18.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})) + C$

Schritt 18.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{1}})) + C$

Schritt 18.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})) + C$

Schritt 18.5

Stelle die Terme um.

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2} x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2} x)) + C$

Schritt 19

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2} x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2} x)) + C$