Analysis Beispiele

$19.21 \sin (1.7 t + 0.3) - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3)$

Schritt 1

Schreibe $19.21 \sin (1.7 t + 0.3) - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3)$ als Funktion.

$f (t) = 19.21 \sin (1.7 t + 0.3) - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3)$

Schritt 2

Die Funktion $F (t)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (t)$ ermittelt wird.

$F (t) = \int f (t) d t$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (t) = \int 19.21 \sin (1.7 t + 0.3) - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 19.21 \sin (1.7 t + 0.3) d t + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Schritt 5

Da $19.21$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $19.21$ aus dem Integral.

$19.21 \int \sin (1.7 t + 0.3) d t + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Schritt 6

Sei $u_{1} = 1.7 t + 0.3$ . Dann ist $d u_{1} = 1.7 d t$ , folglich $\frac{1}{1.7} d u_{1} = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Es sei $u_{1} = 1.7 t + 0.3$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Differenziere $1.7 t + 0.3$ .

$\frac{d}{d t} [1.7 t + 0.3]$

Schritt 6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1.7 t + 0.3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1.7 t] + \frac{d}{d t} [0.3]$ .

$\frac{d}{d t} [1.7 t] + \frac{d}{d t} [0.3]$

Schritt 6.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [1.7 t]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.3.1

Da $1.7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1.7 t$ nach $t$ gleich $1.7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$1.7 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [0.3]$

Schritt 6.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1.7 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [0.3]$

Schritt 6.1.3.3

Mutltipliziere $1.7$ mit $1$ .

$1.7 + \frac{d}{d t} [0.3]$

Schritt 6.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.4.1

Da $0.3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $0.3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$1.7 + 0$

Schritt 6.1.4.2

Addiere $1.7$ und $0$ .

$1.7$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$19.21 \int \sin (u_{1}) \frac{1}{1.7} d u_{1} + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Schritt 7

Kombiniere $\sin (u_{1})$ und $\frac{1}{1.7}$ .

$19.21 \int \frac{\sin (u_{1})}{1.7} d u_{1} + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Schritt 8

Da $\frac{1}{1.7}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{1.7}$ aus dem Integral.

$19.21 (\frac{1}{1.7} \int \sin (u_{1}) d u_{1}) + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{1.7}$ und $19.21$ .

$\frac{19.21}{1.7} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Schritt 10

Das Integral von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Schritt 11

Da $- 16.32$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 16.32$ aus dem Integral.

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) - 16.32 \int \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Schritt 12

Sei $u_{2} = 1.7 t + 0.3$ . Dann ist $d u_{2} = 1.7 d t$ , folglich $\frac{1}{1.7} d u_{2} = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Es sei $u_{2} = 1.7 t + 0.3$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1

Differenziere $1.7 t + 0.3$ .

$\frac{d}{d t} [1.7 t + 0.3]$

Schritt 12.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1.7 t + 0.3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1.7 t] + \frac{d}{d t} [0.3]$ .

$\frac{d}{d t} [1.7 t] + \frac{d}{d t} [0.3]$

Schritt 12.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [1.7 t]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.3.1

Da $1.7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1.7 t$ nach $t$ gleich $1.7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$1.7 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [0.3]$

Schritt 12.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1.7 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [0.3]$

Schritt 12.1.3.3

Mutltipliziere $1.7$ mit $1$ .

$1.7 + \frac{d}{d t} [0.3]$

Schritt 12.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.4.1

Da $0.3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $0.3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$1.7 + 0$

Schritt 12.1.4.2

Addiere $1.7$ und $0$ .

$1.7$

Schritt 12.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) - 16.32 \int \cos (u_{2}) \frac{1}{1.7} d u_{2}$

Schritt 13

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{1.7}$ .

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) - 16.32 \int \frac{\cos (u_{2})}{1.7} d u_{2}$

Schritt 14

Da $\frac{1}{1.7}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{1.7}$ aus dem Integral.

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) - 16.32 (\frac{1}{1.7} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 15

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Kombiniere $\frac{1}{1.7}$ und $- 16.32$ .

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{- 16.32}{1.7} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 15.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) - \frac{16.32}{1.7} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 16

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) - \frac{16.32}{1.7} (\sin (u_{2}) + C)$

Schritt 17

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1

Vereinfache.

$11.3 (- \cos (u_{1})) - \frac{16.32}{1.7} \sin (u_{2}) + C$

Schritt 17.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $11.3$ .

$- 11.3 \cos (u_{1}) - \frac{16.32}{1.7} \sin (u_{2}) + C$

Schritt 18

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1.7 t + 0.3$ .

$- 11.3 \cos (1.7 t + 0.3) - \frac{16.32}{1.7} \sin (u_{2}) + C$

Schritt 18.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1.7 t + 0.3$ .

$- 11.3 \cos (1.7 t + 0.3) - \frac{16.32}{1.7} \sin (1.7 t + 0.3) + C$

Schritt 19

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.1

Dividiere $16.32$ durch $1.7$ .

$- 11.3 \cos (1.7 t + 0.3) - 1 \cdot 9.6 \sin (1.7 t + 0.3) + C$

Schritt 19.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9.6$ .

$- 11.3 \cos (1.7 t + 0.3) - 9.6 \sin (1.7 t + 0.3) + C$

Schritt 20

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (t) = 19.21 \sin (1.7 t + 0.3) - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3)$ .

$F (t) =$ $- 11.3 \cos (1.7 t + 0.3) - 9.6 \sin (1.7 t + 0.3) + C$