Analysis Beispiele

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 2 x}{x}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 2 x}{x}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 2 x}{x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 2 x}{x} d x$

Schritt 4

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{3} + 5 x^{2} - 2 x$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$\int \frac{x (2 x^{2}) + 5 x^{2} - 2 x}{x} d x$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $x$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$\int \frac{x (2 x^{2}) + x (5 x) - 2 x}{x} d x$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x$ heraus.

$\int \frac{x (2 x^{2}) + x (5 x) + x \cdot - 2}{x} d x$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x (2 x^{2}) + x (5 x)$ heraus.

$\int \frac{x (2 x^{2} + 5 x) + x \cdot - 2}{x} d x$

Schritt 4.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (2 x^{2} + 5 x) + x \cdot - 2$ heraus.

$\int \frac{x (2 x^{2} + 5 x - 2)}{x} d x$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{x (2 x^{2} + 5 x - 2)}{x} d x$

Schritt 4.2.2

Dividiere $2 x^{2} + 5 x - 2$ durch $1$ .

$\int 2 x^{2} + 5 x - 2 d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 x^{2} d x + \int 5 x d x + \int - 2 d x$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int x^{2} d x + \int 5 x d x + \int - 2 d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 5 x d x + \int - 2 d x$

Schritt 8

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 \int x d x + \int - 2 d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 2 d x$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 2 x + C$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

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Schritt 11.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 2 x + C$

Schritt 11.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 2 x + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

$\frac{2 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{2}}{2} - 2 x + C$

Schritt 11.3

Stelle die Terme um.

$\frac{2}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} - 2 x + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 2 x}{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} - 2 x + C$