Analysis Beispiele

${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ als Funktion.

$f (x) = {(1 + \frac{1}{x})}^{2}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int {(1 + \frac{1}{x})}^{2} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe ${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ als $(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x})$ um.

$\int (1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x}) d x$

Schritt 4.2

Multipliziere $(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 1 (1 + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (1 + \frac{1}{x}) d x$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (1 + \frac{1}{x}) d x$

Schritt 4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\int 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.1.4

Multipliziere $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Schritt 4.3.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x} d x$

Schritt 4.3.1.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1} x} d x$

Schritt 4.3.1.4.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Schritt 4.3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Schritt 4.3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.3.2

Addiere $\frac{1}{x}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\int 1 + 2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x}$ .

$\int 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d x + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$x + C + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$x + C + 2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 9

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 9.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 9.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 9.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{- 2} d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) - x^{- 1} + C$

Schritt 11

Vereinfache.

$x + 2 \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = {(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $x + 2 \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C$