Analysis Beispiele

$\frac{1}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{\tan^{2} (x)}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{\tan^{2} (x)} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1^{2}}{\tan^{2} (x)} d x$

Schritt 4.2

Schreibe $\frac{1^{2}}{\tan^{2} (x)}$ als ${(\frac{1}{\tan (x)})}^{2}$ um.

$\int {(\frac{1}{\tan (x)})}^{2} d x$

Schritt 4.3

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int {(\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})}^{2} d x$

Schritt 4.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$\int {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} d x$

Schritt 4.5

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\int \cot^{2} (x) d x$

Schritt 5

Schreibe $\cot^{2} (x)$ in $- 1 + \csc^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int - 1 + \csc^{2} (x) d x$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 1 d x + \int \csc^{2} (x) d x$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$- x + C + \int \csc^{2} (x) d x$

Schritt 8

Da die Ableitung von $- \cot (x)$ gleich $\csc^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (x)$ gleich $- \cot (x)$ .

$- x + C - \cot (x) + C$

Schritt 9

Vereinfache.

$- x - \cot (x) + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{\tan^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $- x - \cot (x) + C$