Analysis Beispiele

$4 x {(x^{2} + 27000)}^{- \frac{2}{3}}$

Schritt 1

Schreibe $4 x {(x^{2} + 27000)}^{- \frac{2}{3}}$ als Funktion.

$f (x) = 4 x {(x^{2} + 27000)}^{- \frac{2}{3}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 4 x {(x^{2} + 27000)}^{- \frac{2}{3}} d x$

Schritt 4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int x {(x^{2} + 27000)}^{- \frac{2}{3}} d x$

Schritt 5

Sei $u = x^{2} + 27000$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = x^{2} + 27000$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $x^{2} + 27000$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 27000]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 27000$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27000]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27000]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [27000]$

Schritt 5.1.4

Da $27000$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27000$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 5.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$4 \int u^{- \frac{2}{3}} \frac{1}{2} d u$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $u^{- \frac{2}{3}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{u^{- \frac{2}{3}}}{2} d u$

Schritt 6.2

Bringe $u^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \int \frac{1}{2 u^{\frac{2}{3}}} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u)$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Schritt 8.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 8.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Schritt 8.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Schritt 8.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Schritt 8.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Schritt 8.1.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Schritt 8.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 8.2.1

Bringe $u^{\frac{2}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 \int {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

Schritt 8.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 8.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

Schritt 8.2.2.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 8.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 1$ .

$2 \int u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

Schritt 8.2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 \int u^{\frac{- 2}{3}} d u$

Schritt 8.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \int u^{- \frac{2}{3}} d u$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{2}{3}}$ nach $u$ gleich $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$2 (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Schreibe $2 (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$ als $2 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$ um.

$2 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 u^{\frac{1}{3}} + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 27000$ .

$6 {(x^{2} + 27000)}^{\frac{1}{3}} + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 4 x {(x^{2} + 27000)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$F (x) =$ $6 {(x^{2} + 27000)}^{\frac{1}{3}} + C$