Analysis Beispiele

$\tan^{-1} (π x)$

Schritt 1

Schreibe $\tan^{-1} (π x)$ als Funktion.

$f (x) = \tan^{-1} (π x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \tan^{-1} (π x) d x$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \tan^{-1} (π x)$ und $d v = 1$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \int x \frac{π}{π^{2} x^{2} + 1} d x$

Schritt 5

Kombiniere $x$ und $\frac{π}{π^{2} x^{2} + 1}$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \int \frac{x π}{π^{2} x^{2} + 1} d x$

Schritt 6

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $π$ aus dem Integral.

$\tan^{-1} (π x) x - (π \int \frac{x}{π^{2} x^{2} + 1} d x)$

Schritt 7

Sei $u = π^{2} x^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 \cdot x π^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{2 π^{2}} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Es sei $u = π^{2} x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Differenziere $π^{2} x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [π^{2} x^{2} + 1]$

Schritt 7.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $π^{2} x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [π^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [π^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 7.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [π^{2} x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.3.1

Da $π^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π^{2} x^{2}$ nach $x$ gleich $π^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$π^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 7.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$π^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 7.1.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π^{2}$ .

$2 π^{2} x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 7.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 π^{2} x + 0$

Schritt 7.1.4.2

Addiere $2 π^{2} x$ und $0$ .

$2 π^{2} x$

Schritt 7.1.5

Stelle $2 π^{2}$ und $x$ um.

$x (2 π^{2})$

Schritt 7.1.6

Stelle $x$ und $2$ um.

$2 \cdot x π^{2}$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\tan^{-1} (π x) x - π \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2 π^{2}} d u$

Schritt 8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2 π^{2}}$ .

$\tan^{-1} (π x) x - π \int \frac{1}{u (2 π^{2})} d u$

Schritt 8.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\tan^{-1} (π x) x - π \int \frac{1}{2 u π^{2}} d u$

Schritt 9

Da $\frac{1}{2 π^{2}}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2 π^{2}}$ aus dem Integral.

$\tan^{-1} (π x) x - π (\frac{1}{2 π^{2}} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 10

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{2 π^{2}}$ und $π$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{π}{2 π^{2}} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $π$ und $π^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{π \cdot 1}{2 π^{2}} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 10.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π^{2}$ heraus.

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{π \cdot 1}{π (2 π)} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 10.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{π \cdot 1}{π (2 π)} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 10.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 11

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{1}{2 π} (\ln (| u |) + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{1}{2 π} \ln (| u |) + C$

Schritt 13

Ersetze alle $u$ durch $π^{2} x^{2} + 1$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{1}{2 π} \ln (| π^{2} x^{2} + 1 |) + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \tan^{-1} (π x)$ .

$F (x) =$ $\tan^{-1} (π x) x - \frac{1}{2 π} \ln (| π^{2} x^{2} + 1 |) + C$