Analysis Beispiele

$\frac{20}{6 + 2 t}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{20}{6 + 2 t}$ als Funktion.

$f (t) = \frac{20}{6 + 2 t}$

Schritt 2

Die Funktion $F (t)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (t)$ ermittelt wird.

$F (t) = \int f (t) d t$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (t) = \int \frac{20}{6 + 2 t} d t$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $6 + 2 t$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Faktorisiere $2$ aus $20$ heraus.

$\int \frac{2 \cdot 10}{6 + 2 t} d t$

Schritt 4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\int \frac{2 \cdot 10}{2 (3) + 2 t} d t$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 t$ heraus.

$\int \frac{2 \cdot 10}{2 (3) + 2 (t)} d t$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3) + 2 (t)$ heraus.

$\int \frac{2 \cdot 10}{2 (3 + t)} d t$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{2 \cdot 10}{2 (3 + t)} d t$

Schritt 4.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{10}{3 + t} d t$

Schritt 5

Da $10$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $10$ aus dem Integral.

$10 \int \frac{1}{3 + t} d t$

Schritt 6

Sei $u = 3 + t$ . Dann ist $d u = d t$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Es sei $u = 3 + t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Differenziere $3 + t$ .

$\frac{d}{d t} [3 + t]$

Schritt 6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 6.1.3

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 6.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 6.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$10 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$10 (\ln (| u |) + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

$10 \ln (| u |) + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $3 + t$ .

$10 \ln (| 3 + t |) + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (t) = \frac{20}{6 + 2 t}$ .

$F (t) =$ $10 \ln (| 3 + t |) + C$