Analysis Beispiele

$\cos (π x) + 6 \sin (\frac{x}{6})$

Schritt 1

Schreibe $\cos (π x) + 6 \sin (\frac{x}{6})$ als Funktion.

$f (x) = \cos (π x) + 6 \sin (\frac{x}{6})$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \cos (π x) + 6 \sin (\frac{x}{6}) d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \cos (π x) d x + \int 6 \sin (\frac{x}{6}) d x$

Schritt 5

Sei $u_{1} = π x$ . Dann ist $d u_{1} = π d x$ , folglich $\frac{1}{π} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u_{1} = π x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Schritt 5.1.2

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π x$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$π$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \cos (u_{1}) \frac{1}{π} d u_{1} + \int 6 \sin (\frac{x}{6}) d x$

Schritt 6

Kombiniere $\cos (u_{1})$ und $\frac{1}{π}$ .

$\int \frac{\cos (u_{1})}{π} d u_{1} + \int 6 \sin (\frac{x}{6}) d x$

Schritt 7

Da $\frac{1}{π}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{π}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{π} \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int 6 \sin (\frac{x}{6}) d x$

Schritt 8

Das Integral von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + \int 6 \sin (\frac{x}{6}) d x$

Schritt 9

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 6 \int \sin (\frac{x}{6}) d x$

Schritt 10

Sei $u_{2} = \frac{x}{6}$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{1}{6} d x$ , folglich $6 d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 10.1

Es sei $u_{2} = \frac{x}{6}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 10.1.1

Differenziere $\frac{x}{6}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{6}]$

Schritt 10.1.2

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{6}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $1$ .

$\frac{1}{6}$

Schritt 10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 6 \int \sin (u_{2}) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u_{2}$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{6}$ zu dividieren.

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 6 \int \sin (u_{2}) (1 \cdot 6) d u_{2}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 6 \int \sin (u_{2}) \cdot 6 d u_{2}$

Schritt 11.3

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 6 \int 6 \sin (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 12

Da $6$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 6 (6 \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 13

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 36 \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 14

Das Integral von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 36 (- \cos (u_{2}) + C)$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Vereinfache.

$\frac{1}{π} \sin (u_{1}) + 36 (- \cos (u_{2})) + C$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$\frac{1}{π} \sin (u_{1}) - 36 \cos (u_{2}) + C$

Schritt 16

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 16.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $π x$ .

$\frac{1}{π} \sin (π x) - 36 \cos (u_{2}) + C$

Schritt 16.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\frac{x}{6}$ .

$\frac{1}{π} \sin (π x) - 36 \cos (\frac{x}{6}) + C$

Schritt 17

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{π} \sin (π x) - 36 \cos (\frac{1}{6} x) + C$

Schritt 18

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \cos (π x) + 6 \sin (\frac{x}{6})$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{π} \sin (π x) - 36 \cos (\frac{1}{6} x) + C$