Analysis Beispiele

$6 x e^{3 x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $6 x e^{3 x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = 6 x e^{3 x^{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 6 x e^{3 x^{2}} d x$

Schritt 4

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int x e^{3 x^{2}} d x$

Schritt 5

Sei $u_{2} = e^{3 x^{2}}$ . Dann ist $d u_{2} = 6 x e^{3 x^{2}} d x$ , folglich $\frac{1}{6} d u_{2} = x e^{3 x^{2}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u_{2} = e^{3 x^{2}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $e^{3 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}}]$

Schritt 5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x^{2}$ .

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Schritt 5.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 5.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 x^{2}$ .

$e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 5.1.3

Differenziere.

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Schritt 5.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{3 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{3 x^{2}} (3 (2 x))$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$e^{3 x^{2}} (6 x)$

Schritt 5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 5.1.4.1

Stelle die Faktoren von $e^{3 x^{2}} (6 x)$ um.

$6 e^{3 x^{2}} x$

Schritt 5.1.4.2

Stelle die Faktoren in $6 e^{3 x^{2}} x$ um.

$6 x e^{3 x^{2}}$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$6 \int \frac{1}{6} d u_{2}$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$6 (\frac{1}{6} u_{2} + C)$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Schreibe $6 (\frac{1}{6} u_{2} + C)$ als $6 (\frac{1}{6}) u_{2} + C$ um.

$6 (\frac{1}{6}) u_{2} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{6}$ .

$\frac{6}{6} u_{2} + C$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{6} u_{2} + C$

Schritt 7.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 u_{2} + C$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $u_{2}$ mit $1$ .

$u_{2} + C$

Schritt 7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{3 x^{2}}$ .

$e^{3 x^{2}} + C$

Schritt 8

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 6 x e^{3 x^{2}}$ .

$F (x) =$ $e^{3 x^{2}} + C$