Analysis Beispiele

$72 e^{- 12 x}$

Schritt 1

Schreibe $72 e^{- 12 x}$ als Funktion.

$f (x) = 72 e^{- 12 x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 72 e^{- 12 x} d x$

Schritt 4

Da $72$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $72$ aus dem Integral.

$72 \int e^{- 12 x} d x$

Schritt 5

Sei $u = - 12 x$ . Dann ist $d u = - 12 d x$ , folglich $- \frac{1}{12} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = - 12 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $- 12 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$

Schritt 5.1.2

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 12 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$- 12$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$72 \int e^{u} \frac{1}{- 12} d u$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$72 \int e^{u} (- \frac{1}{12}) d u$

Schritt 6.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{12}$ .

$72 \int - \frac{e^{u}}{12} d u$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$72 (- \int \frac{e^{u}}{12} d u)$

Schritt 8

Mutltipliziere $- 1$ mit $72$ .

$- 72 \int \frac{e^{u}}{12} d u$

Schritt 9

Da $\frac{1}{12}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{12}$ aus dem Integral.

$- 72 (\frac{1}{12} \int e^{u} d u)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{12}$ und $- 72$ .

$\frac{- 72}{12} \int e^{u} d u$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 72$ und $12$ .

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $12$ aus $- 72$ heraus.

$\frac{12 \cdot - 6}{12} \int e^{u} d u$

Schritt 10.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.2.1

Faktorisiere $12$ aus $12$ heraus.

$\frac{12 \cdot - 6}{12 (1)} \int e^{u} d u$

Schritt 10.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 \cdot - 6}{12 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Schritt 10.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 6}{1} \int e^{u} d u$

Schritt 10.2.2.4

Dividiere $- 6$ durch $1$ .

$- 6 \int e^{u} d u$

Schritt 11

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- 6 (e^{u} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

$- 6 e^{u} + C$

Schritt 13

Ersetze alle $u$ durch $- 12 x$ .

$- 6 e^{- 12 x} + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 72 e^{- 12 x}$ .

$F (x) =$ $- 6 e^{- 12 x} + C$