Analysis Beispiele

$x^{6} - 2 x^{3} + 1$

Schritt 1

Setze $x^{6} - 2 x^{3} + 1$ gleich $0$ .

$x^{6} - 2 x^{3} + 1 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{3})}^{2}$ um.

${(x^{3})}^{2} - 2 x^{3} + 1 = 0$

Schritt 2.1.2

Es sei $u = x^{3}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{3}$ .

$u^{2} - 2 u + 1 = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$u^{2} - 2 u + 1^{2} = 0$

Schritt 2.1.3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Schritt 2.1.3.3

Schreibe das Polynom neu.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Schritt 2.1.3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 1$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.1.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

${(x^{3} - 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

${(x^{3} - 1^{3})}^{2} = 0$

Schritt 2.2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

${((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}))}^{2} = 0$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

${((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}))}^{2} = 0$

Schritt 2.2.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

${((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{2} = 0$

Schritt 2.2.4

Wende die Produktregel auf $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ an.

${(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

${(x^{2} + x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.4

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse ${(x - 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.5

Setze ${(x^{2} + x + 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze ${(x^{2} + x + 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x^{2} + x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.5.2

Löse ${(x^{2} + x + 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x^{2} + x + 1 = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.5.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x^{2} + x + 1 = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.5.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x^{2} + x + 1 = \pm 0$

Schritt 2.5.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Schritt 2.5.2.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.5.2.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 2.5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.5.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.5.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.5.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3