Analysis Beispiele

$\sqrt{x^{2} + 10 x + 27}$

Schritt 1

Setze $\sqrt{x^{2} + 10 x + 27}$ gleich $0$ .

$\sqrt{x^{2} + 10 x + 27} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x^{2} + 10 x + 27}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 10 x + 27}$ als ${(x^{2} + 10 x + 27)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x^{2} + 10 x + 27)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache ${({(x^{2} + 10 x + 27)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 10 x + 27)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 10 x + 27)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{2} + 10 x + 27)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} + 10 x + 27)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Vereinfache.

$x^{2} + 10 x + 27 = 0^{2}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{2} + 10 x + 27 = 0$

Schritt 2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.3.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 10$ und $c = 27$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 27)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.3.1.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 27$ .

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $27$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 108}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.1.3

Subtrahiere $108$ von $100$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.1.4

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (8)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ um.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.1.7

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.3.3.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.3.3.3

Vereinfache $\frac{- 10 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 5 \pm i \sqrt{2}$

Schritt 2.3.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 5 + i \sqrt{2}, - 5 - i \sqrt{2}$

$x = - 5 \pm i \sqrt{2}$

Schritt 3