Analysis Beispiele

$y = 9 - x$ , $y = 3 x - 3$ , $x = 0$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = - x + 9$ und $g (x) = 3 x - 3$

Schritt 2

Vereinfache den Integranden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Schreibe ${(- x + 9)}^{2}$ als $(- x + 9) (- x + 9)$ um.

$V = (- x + 9) (- x + 9) - {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $(- x + 9) (- x + 9)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$V = - x (- x + 9) + 9 (- x + 9) - {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$V = - x (- x) - x \cdot 9 + 9 (- x + 9) - {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$V = - x (- x) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$V = - 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 2.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 2.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 2.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$V = 1 x^{2} - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 2.1.3.1.4

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$V = x^{2} - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 2.1.3.1.5

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$V = x^{2} - 9 x + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 2.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$V = x^{2} - 9 x - 9 x + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 2.1.3.1.7

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$V = x^{2} - 9 x - 9 x + 81 - {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 2.1.3.2

Subtrahiere $9 x$ von $- 9 x$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 2.1.4

Schreibe ${(3 x - 3)}^{2}$ als $(3 x - 3) (3 x - 3)$ um.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - ((3 x - 3) (3 x - 3))$

Schritt 2.1.5

Multipliziere $(3 x - 3) (3 x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 x (3 x - 3) - 3 (3 x - 3))$

Schritt 2.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x - 3))$

Schritt 2.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Schritt 2.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 \cdot (3 x \cdot x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Schritt 2.1.6.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.6.1.2.1

Bewege $x$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 \cdot (3 (x \cdot x)) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Schritt 2.1.6.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 \cdot (3 x^{2}) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Schritt 2.1.6.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Schritt 2.1.6.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 9 x - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Schritt 2.1.6.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 9 x - 9 x - 3 \cdot - 3)$

Schritt 2.1.6.1.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 9 x - 9 x + 9)$

Schritt 2.1.6.2

Subtrahiere $9 x$ von $- 9 x$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 18 x + 9)$

Schritt 2.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2}) - (- 18 x) - 1 \cdot 9$

Schritt 2.1.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.8.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} - (- 18 x) - 1 \cdot 9$

Schritt 2.1.8.2

Mutltipliziere $- 18$ mit $- 1$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} + 18 x - 1 \cdot 9$

Schritt 2.1.8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} + 18 x - 9$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} + 18 x - 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Addiere $- 18 x$ und $18 x$ .

$V = x^{2} + 81 - 9 x^{2} + 0 - 9$

Schritt 2.2.1.2

Addiere $x^{2} + 81 - 9 x^{2}$ und $0$ .

$V = x^{2} + 81 - 9 x^{2} - 9$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $9 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$V = - 8 x^{2} + 81 - 9$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere $9$ von $81$ .

$V = - 8 x^{2} + 72$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$V = π (\int_{0}^{3} - 8 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 72 d x)$

Schritt 4

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 8$ aus dem Integral.

$V = π (- 8 \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} 72 d x)$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (- 8 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 72 d x)$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$V = π (- 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 72 d x)$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$V = π (- 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 72 x]_{0}^{3})$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $3$ und $0$ .

$V = π (- 8 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 72 x]_{0}^{3})$

Schritt 8.2

Berechne $72 x$ bei $3$ und $0$ .

$V = π (- 8 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Schritt 8.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$V = π (- 8 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Schritt 8.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$V = π (- 8 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Schritt 8.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$V = π (- 8 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Schritt 8.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (- 8 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Schritt 8.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (- 8 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Schritt 8.3.2.2.4

Dividiere $9$ durch $1$ .

$V = π (- 8 (9 - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Schritt 8.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = π (- 8 (9 - \frac{0}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Schritt 8.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$V = π (- 8 (9 - \frac{3 (0)}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Schritt 8.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$V = π (- 8 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Schritt 8.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (- 8 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Schritt 8.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (- 8 (9 - \frac{0}{1}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Schritt 8.3.4.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = π (- 8 (9 - 0) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Schritt 8.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$V = π (- 8 (9 + 0) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Schritt 8.3.6

Addiere $9$ und $0$ .

$V = π (- 8 \cdot 9 + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Schritt 8.3.7

Mutltipliziere $- 8$ mit $9$ .

$V = π (- 72 + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Schritt 8.3.8

Mutltipliziere $72$ mit $3$ .

$V = π (- 72 + 216 - 72 \cdot 0)$

Schritt 8.3.9

Mutltipliziere $- 72$ mit $0$ .

$V = π (- 72 + 216 + 0)$

Schritt 8.3.10

Addiere $216$ und $0$ .

$V = π (- 72 + 216)$

Schritt 8.3.11

Addiere $- 72$ und $216$ .

$V = π \cdot 144$

Schritt 8.3.12

Bringe $144$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = 144 π$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = 144 π$

Dezimalform:

$V = 452.38934211 \dots$

Schritt 10