Analysis Beispiele

$y = 4 x$ , $y = 4$ , $x = 0$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = 4$ und $g (x) = 4 x$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$V = 16 - {(4 x)}^{2}$

Schritt 2.2

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$V = 16 - (4^{2} x^{2})$

Schritt 2.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$V = 16 - (16 x^{2})$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$V = 16 - 16 x^{2}$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$V = π (\int_{0}^{1} 16 d x + \int_{0}^{1} - 16 x^{2} d x)$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$V = π (16 x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 16 x^{2} d x)$

Schritt 5

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 16$ aus dem Integral.

$V = π (16 x]_{0}^{1} - 16 \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (16 x]_{0}^{1} - 16 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}))$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$V = π (16 x]_{0}^{1} - 16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $16 x$ bei $1$ und $0$ .

$V = π ((16 \cdot 1) - 16 \cdot 0 - 16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Schritt 7.2.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $1$ und $0$ .

$V = π (16 \cdot 1 - 16 \cdot 0 - 16 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$V = π (16 - 16 \cdot 0 - 16 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $0$ .

$V = π (16 + 0 - 16 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 7.2.3.3

Addiere $16$ und $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 7.2.3.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 7.2.3.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}))$

Schritt 7.2.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 7.2.3.6.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Schritt 7.2.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Schritt 7.2.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Schritt 7.2.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}))$

Schritt 7.2.3.6.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{3} - 0))$

Schritt 7.2.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{3} + 0))$

Schritt 7.2.3.8

Addiere $\frac{1}{3}$ und $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{3}))$

Schritt 7.2.3.9

Kombiniere $- 16$ und $\frac{1}{3}$ .

$V = π (16 + \frac{- 16}{3})$

Schritt 7.2.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = π (16 - \frac{16}{3})$

Schritt 7.2.3.11

Um $16$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$V = π (16 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3})$

Schritt 7.2.3.12

Kombiniere $16$ und $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{16 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

Schritt 7.2.3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{16 \cdot 3 - 16}{3})$

Schritt 7.2.3.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.14.1

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$V = π (\frac{48 - 16}{3})$

Schritt 7.2.3.14.2

Subtrahiere $16$ von $48$ .

$V = π (\frac{32}{3})$

Schritt 7.2.3.15

Kombiniere $π$ und $\frac{32}{3}$ .

$V = \frac{π \cdot 32}{3}$

Schritt 7.2.3.16

Bringe $32$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = \frac{32 π}{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = \frac{32 π}{3}$

Dezimalform:

$V = 33.51032163 \dots$

Schritt 9