Analysis Beispiele

$x = 2 \sqrt{5 y}$ , $x = 0$ , $y = 3$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{7.74596669} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = 3$ und $g (x) = \frac{x^{2}}{20}$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$V = 9 - {(\frac{x^{2}}{20})}^{2}$

Schritt 2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{2}}{20}$ an.

$V = 9 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{20^{2}}$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 9 - \frac{x^{2 \cdot 2}}{20^{2}}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$V = 9 - \frac{x^{4}}{20^{2}}$

Schritt 2.4

Potenziere $20$ mit $2$ .

$V = 9 - \frac{x^{4}}{400}$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$V = π (\int_{0}^{7.74596669} 9 d x + \int_{0}^{7.74596669} - \frac{x^{4}}{400} d x)$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$V = π (9 x]_{0}^{7.74596669} + \int_{0}^{7.74596669} - \frac{x^{4}}{400} d x)$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$V = π (9 x]_{0}^{7.74596669} - \int_{0}^{7.74596669} \frac{x^{4}}{400} d x)$

Schritt 6

Da $\frac{1}{400}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{400}$ aus dem Integral.

$V = π (9 x]_{0}^{7.74596669} - (\frac{1}{400} \cdot \int_{0}^{7.74596669} x^{4} d x))$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (9 x]_{0}^{7.74596669} - \frac{1}{400} \cdot \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{7.74596669})$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$V = π (9 x]_{0}^{7.74596669} - \frac{1}{400} \cdot \frac{x^{5}}{5}]_{0}^{7.74596669})$

Schritt 8.1.2

Kombiniere $\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{7.74596669}$ und $\frac{1}{400}$ .

$V = π (9 x]_{0}^{7.74596669} - \frac{\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{7.74596669}}{400})$

Schritt 8.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Berechne $9 x$ bei $7.74596669$ und $0$ .

$V = π ((9 \cdot 7.74596669) - 9 \cdot 0 - \frac{\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{7.74596669}}{400})$

Schritt 8.2.2

Berechne $\frac{x^{5}}{5}$ bei $7.74596669$ und $0$ .

$V = π ((9 \cdot 7.74596669) - 9 \cdot 0 - \frac{(\frac{{7.74596669}^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{400})$

Schritt 8.2.3

Vereinfache.

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Schritt 8.2.3.1

Mutltipliziere $9$ mit $7.74596669$ .

$V = π (69.71370023 - 9 \cdot 0 - \frac{(\frac{{7.74596669}^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{400})$

Schritt 8.2.3.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $0$ .

$V = π (69.71370023 + 0 - \frac{(\frac{{7.74596669}^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{400})$

Schritt 8.2.3.3

Addiere $69.71370023$ und $0$ .

$V = π (69.71370023 - \frac{(\frac{{7.74596669}^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{400})$

Schritt 8.2.3.4

Potenziere $7.74596669$ mit $5$ .

$V = π (69.71370023 - \frac{\frac{27885.48009269}{5} - \frac{0^{5}}{5}}{400})$

Schritt 8.2.3.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = π (69.71370023 - \frac{\frac{27885.48009269}{5} - \frac{0}{5}}{400})$

Schritt 8.2.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 8.2.3.6.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$V = π (69.71370023 - \frac{\frac{27885.48009269}{5} - \frac{5 (0)}{5}}{400})$

Schritt 8.2.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$V = π (69.71370023 - \frac{\frac{27885.48009269}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{400})$

Schritt 8.2.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (69.71370023 - \frac{\frac{27885.48009269}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{400})$

Schritt 8.2.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (69.71370023 - \frac{\frac{27885.48009269}{5} - \frac{0}{1}}{400})$

Schritt 8.2.3.6.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = π (69.71370023 - \frac{\frac{27885.48009269}{5} - 0}{400})$

Schritt 8.2.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$V = π (69.71370023 - \frac{\frac{27885.48009269}{5} + 0}{400})$

Schritt 8.2.3.8

Addiere $\frac{27885.48009269}{5}$ und $0$ .

$V = π (69.71370023 - \frac{\frac{27885.48009269}{5}}{400})$

Schritt 8.2.3.9

Schreibe $\frac{\frac{27885.48009269}{5}}{400}$ als ein Produkt um.

$V = π (69.71370023 - (\frac{27885.48009269}{5} \cdot \frac{1}{400}))$

Schritt 8.2.3.10

Mutltipliziere $\frac{27885.48009269}{5}$ mit $\frac{1}{400}$ .

$V = π (69.71370023 - \frac{27885.48009269}{5 \cdot 400})$

Schritt 8.2.3.11

Mutltipliziere $5$ mit $400$ .

$V = π (69.71370023 - \frac{27885.48009269}{2000})$

Schritt 8.2.3.12

Um $69.71370023$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2000}{2000}$ .

$V = π (69.71370023 \cdot \frac{2000}{2000} - \frac{27885.48009269}{2000})$

Schritt 8.2.3.13

Kombiniere $69.71370023$ und $\frac{2000}{2000}$ .

$V = π (\frac{69.71370023 \cdot 2000}{2000} - \frac{27885.48009269}{2000})$

Schritt 8.2.3.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{69.71370023 \cdot 2000 - 27885.48009269}{2000})$

Schritt 8.2.3.15

Mutltipliziere $69.71370023$ mit $2000$ .

$V = π (\frac{139427.40046346 - 27885.48009269}{2000})$

Schritt 8.2.3.16

Subtrahiere $27885.48009269$ von $139427.40046346$ .

$V = π (\frac{111541.92037077}{2000})$

Schritt 8.2.3.17

Kombiniere $π$ und $\frac{111541.92037077}{2000}$ .

$V = \frac{π \cdot 111541.92037077}{2000}$

Schritt 8.2.3.18

Mutltipliziere $π$ mit $111541.92037077$ .

$V = \frac{350419.27760411}{2000}$

Schritt 9

Dividiere $350419.27760411$ durch $2000$ .

$V = 175.2096388$

Schritt 10