Analysis Beispiele

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} - 5^{t}}{t}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{t \to 0} 8^{t} - 5^{t}}{lim_{t \to 0} t}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{t \to 0} 8^{t} - lim_{t \to 0} 5^{t}}{lim_{t \to 0} t}$

Schritt 1.2.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{8^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 5^{t}}{lim_{t \to 0} t}$

Schritt 1.2.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{8^{lim_{t \to 0} t} - 5^{lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} t}$

Schritt 1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $t$ .

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Schritt 1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\frac{8^{0} - 5^{lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} t}$

Schritt 1.2.4.2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\frac{8^{0} - 5^{0}}{lim_{t \to 0} t}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 - 5^{0}}{lim_{t \to 0} t}$

Schritt 1.2.5.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} t}$

Schritt 1.2.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{t \to 0} t}$

Schritt 1.2.5.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} - 5^{t}}{t} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [8^{t} - 5^{t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [8^{t} - 5^{t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8^{t} - 5^{t}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [8^{t}] + \frac{d}{d t} [- 5^{t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [8^{t}] + \frac{d}{d t} [- 5^{t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ gleich $a^{t} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $8$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} \ln (8) + \frac{d}{d t} [- 5^{t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d t} [- 5^{t}]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 5^{t}$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [5^{t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} \ln (8) - \frac{d}{d t} [5^{t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ gleich $a^{t} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $5$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} \ln (8) - (5^{t} \ln (5))}{\frac{d}{d t} [t]}$

Schritt 3.4.3

Entferne die Klammern.

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} \ln (8) - 5^{t} \ln (5)}{\frac{d}{d t} [t]}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} \ln (8) - 5^{t} \ln (5)}{1}$

Schritt 4

Dividiere $8^{t} \ln (8) - 5^{t} \ln (5)$ durch $1$ .

$lim_{t \to 0} 8^{t} \ln (8) - 5^{t} \ln (5)$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $0$ annähert.

$lim_{t \to 0} 8^{t} \ln (8) - lim_{t \to 0} 5^{t} \ln (5)$

Schritt 6

Ziehe den Term $\ln (8)$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$\ln (8) lim_{t \to 0} 8^{t} - lim_{t \to 0} 5^{t} \ln (5)$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\ln (8) \cdot 8^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 5^{t} \ln (5)$

Schritt 8

Ziehe den Term $\ln (5)$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$\ln (8) \cdot 8^{lim_{t \to 0} t} - \ln (5) lim_{t \to 0} 5^{t}$

Schritt 9

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\ln (8) \cdot 8^{lim_{t \to 0} t} - \ln (5) \cdot 5^{lim_{t \to 0} t}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $t$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\ln (8) \cdot 8^{0} - \ln (5) \cdot 5^{lim_{t \to 0} t}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\ln (8) \cdot 8^{0} - \ln (5) \cdot 5^{0}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\ln (8) \cdot 1 - \ln (5) \cdot 5^{0}$

Schritt 11.1.2

Mutltipliziere $\ln (8)$ mit $1$ .

$\ln (8) - \ln (5) \cdot 5^{0}$

Schritt 11.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\ln (8) - \ln (5) \cdot 1$

Schritt 11.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\ln (8) - \ln (5)$

Schritt 11.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{8}{5})$