Analysis Beispiele

$lim_{t \to 0} \frac{\tan (6 t)}{\sin (2 t)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{t \to 0} \tan (6 t)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{\tan (lim_{t \to 0} 6 t)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Schritt 1.2.1.2

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$\frac{\tan (6 lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\frac{\tan (6 \cdot 0)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Schritt 1.2.3.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{\sin (lim_{t \to 0} 2 t)}$

Schritt 1.3.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$\frac{0}{\sin (2 lim_{t \to 0} t)}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 1.3.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{t \to 0} \frac{\tan (6 t)}{\sin (2 t)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\tan (6 t)]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\tan (6 t)]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \tan (t)$ und $g (t) = 6 t$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $6 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d t} [6 t]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d t} [6 t]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $6 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (6 t) \frac{d}{d t} [6 t]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Schritt 3.3

Da $6$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $6 t$ nach $t$ gleich $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (6 t) (6 \frac{d}{d t} [t])}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (6 t) (6 \cdot 1)}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (6 t) \cdot 6}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Schritt 3.6

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (6 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{6 \cdot \sec^{2} (6 t)}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $6$ mit $\sec^{2} (6 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 t)}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \sin (t)$ und $g (t) = 2 t$ .

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Schritt 3.8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 t)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [2 t]}$

Schritt 3.8.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 t)}{\cos (u) \frac{d}{d t} [2 t]}$

Schritt 3.8.3

Ersetze alle $u$ durch $2 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 t)}{\cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]}$

Schritt 3.9

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 t)}{\cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])}$

Schritt 3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 t)}{\cos (2 t) (2 \cdot 1)}$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 t)}{\cos (2 t) \cdot 2}$

Schritt 3.12

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 t)}{2 \cdot \cos (2 t)}$

Schritt 3.13

Mutltipliziere $2$ mit $\cos (2 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 t)}{2 \cos (2 t)}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $2$ aus $6 \sec^{2} (6 t)$ heraus.

$lim_{t \to 0} \frac{2 (3 \sec^{2} (6 t))}{2 \cos (2 t)}$

Schritt 4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cos (2 t)$ heraus.

$lim_{t \to 0} \frac{2 (3 \sec^{2} (6 t))}{2 (\cos (2 t))}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{t \to 0} \frac{2 (3 \sec^{2} (6 t))}{2 \cos (2 t)}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{t \to 0} \frac{3 \sec^{2} (6 t)}{\cos (2 t)}$

Schritt 5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$3 lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (6 t)}{\cos (2 t)}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $0$ annähert.

$3 \frac{lim_{t \to 0} \sec^{2} (6 t)}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (6 t)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$3 \frac{{(lim_{t \to 0} \sec (6 t))}^{2}}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Schritt 8

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$3 \frac{\sec^{2} (lim_{t \to 0} 6 t)}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Schritt 9

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$3 \frac{\sec^{2} (6 lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Schritt 10

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$3 \frac{\sec^{2} (6 lim_{t \to 0} t)}{\cos (lim_{t \to 0} 2 t)}$

Schritt 11

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$3 \frac{\sec^{2} (6 lim_{t \to 0} t)}{\cos (2 lim_{t \to 0} t)}$

Schritt 12

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $t$ .

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Schritt 12.1

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$3 \frac{\sec^{2} (6 \cdot 0)}{\cos (2 lim_{t \to 0} t)}$

Schritt 12.2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$3 \frac{\sec^{2} (6 \cdot 0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Schritt 13

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$3 \frac{\sec^{2} (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Schritt 13.1.2

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$3 \frac{1^{2}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Schritt 13.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 \frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$3 \frac{1}{\cos (0)}$

Schritt 13.2.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$3 (\frac{1}{1})$

Schritt 13.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 13.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (\frac{1}{1})$

Schritt 13.3.2

Forme den Ausdruck um.

$3 \cdot 1$

Schritt 13.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$