Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{x + x^{2}}{1 - 2 x^{2}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} x + x^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - 2 x^{2}}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Stelle $x$ und $x^{2}$ um.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + x}{lim_{x \to \infty} 1 - 2 x^{2}}$

Schritt 1.2.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 1 - 2 x^{2}}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Stelle $1$ und $- 2 x^{2}$ um.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - 2 x^{2} + 1}$

Schritt 1.3.2

Der Grenzwert eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient negativ ist, bei unendlich, ist minus unendlich.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Schritt 1.3.3

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{- \infty}$

Schritt 1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{- \infty}$

Schritt 2

Da $\frac{\infty}{- \infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{x + x^{2}}{1 - 2 x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + 2 x}{\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]}$

Schritt 3.5

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]}$

Schritt 3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 2 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]}$

Schritt 3.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]}$

Schritt 3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Schritt 3.8.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{0 - 2 (2 x)}$

Schritt 3.8.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{0 - 4 x}$

Schritt 3.9

Subtrahiere $4 x$ von $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{- 4 x}$

Schritt 4

Ziehe den Term $\frac{1}{- 4}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{x}$

Schritt 5

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x$ ist.

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}$

Schritt 6.1.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1}$

Schritt 6.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 6.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 6.5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{2 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{2 + 0}{1}$

Schritt 8.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{2 + 0}{1}$

Schritt 8.2.2

Dividiere $2 + 0$ durch $1$ .

$- \frac{1}{4} (2 + 0)$

Schritt 8.2.3

Addiere $2$ und $0$ .

$- \frac{1}{4} \cdot 2$

Schritt 8.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{4}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{4} \cdot 2$

Schritt 8.2.4.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{- 1}{2 (2)} \cdot 2$

Schritt 8.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot 2$

Schritt 8.2.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{2}$

Schritt 8.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2}$