Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x}}{x^{3}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Schritt 1.2

Da der Exponent $5 x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{5 x}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Schritt 1.3

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x}}{x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} (5 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} \cdot 5}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.6

Bringe $5$ auf die linke Seite von $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 \cdot e^{5 x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $5$ mit $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x}}{3 x^{2}}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{2}}$

Schritt 4.1.2

Da die Funktion $e^{5 x}$ gegen $\infty$ geht, geht die positive Konstante $5$ mal der Funktion ebenfalls gegen $\infty$ .

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Schritt 4.1.2.1

Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen $5$ entfernt.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{2}}$

Schritt 4.1.2.2

Da der Exponent $5 x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{5 x}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x^{2}}$

Schritt 4.1.3

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 4.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x}}{3 x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Schritt 4.3.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 e^{5 x}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 4.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Schritt 4.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Schritt 4.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Schritt 4.3.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Schritt 4.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 e^{5 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Schritt 4.3.7

Mutltipliziere $25$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 e^{5 x}}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Schritt 4.3.8

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 e^{5 x}}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 4.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 e^{5 x}}{3 (2 x)}$

Schritt 4.3.10

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 e^{5 x}}{6 x}$

Schritt 5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} 25 e^{5 x}}{lim_{x \to \infty} 6 x}$

Schritt 5.1.2

Da die Funktion $e^{5 x}$ gegen $\infty$ geht, geht die positive Konstante $25$ mal der Funktion ebenfalls gegen $\infty$ .

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Schritt 5.1.2.1

Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen $25$ entfernt.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}{lim_{x \to \infty} 6 x}$

Schritt 5.1.2.2

Da der Exponent $5 x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{5 x}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 6 x}$

Schritt 5.1.3

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 5.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{25 e^{5 x}}{6 x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [25 e^{5 x}]}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [25 e^{5 x}]}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

Schritt 5.3.2

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25 e^{5 x}$ nach $x$ gleich $25 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

Schritt 5.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 5.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

Schritt 5.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

Schritt 5.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

Schritt 5.3.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $5$ mit $25$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{125 e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

Schritt 5.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{125 e^{5 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

Schritt 5.3.7

Mutltipliziere $125$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{125 e^{5 x}}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

Schritt 5.3.8

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{125 e^{5 x}}{6 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{125 e^{5 x}}{6 \cdot 1}$

Schritt 5.3.10

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{125 e^{5 x}}{6}$

Schritt 6

Da die Funktion $e^{5 x}$ gegen $\infty$ geht, geht die positive Konstante $\frac{125}{6}$ mal der Funktion ebenfalls gegen $\infty$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen $\frac{125}{6}$ entfernt.

$lim_{x \to \infty} e^{5 x}$

Schritt 6.2

Da der Exponent $5 x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{5 x}$ $\infty$ an.

$\infty$