Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{\log (x)}{7 x^{2} + 5 x - 12}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} \log (x)}{lim_{x \to 1} 7 x^{2} + 5 x - 12}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{\log (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 7 x^{2} + 5 x - 12}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{\log (1)}{lim_{x \to 1} 7 x^{2} + 5 x - 12}$

Schritt 1.2.3

Die logarithmische Basis $10$ von $1$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 7 x^{2} + 5 x - 12}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 7 x^{2} + lim_{x \to 1} 5 x - lim_{x \to 1} 12}$

Schritt 1.3.2

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{7 lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 5 x - lim_{x \to 1} 12}$

Schritt 1.3.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{7 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 5 x - lim_{x \to 1} 12}$

Schritt 1.3.4

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{7 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 12}$

Schritt 1.3.5

Berechne den Grenzwert von $12$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{7 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 12}$

Schritt 1.3.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 1.3.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{7 \cdot 1^{2} + 5 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 12}$

Schritt 1.3.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{7 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 1 \cdot 12}$

Schritt 1.3.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.7.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{7 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 1 \cdot 12}$

Schritt 1.3.7.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$\frac{0}{7 + 5 \cdot 1 - 1 \cdot 12}$

Schritt 1.3.7.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{0}{7 + 5 - 1 \cdot 12}$

Schritt 1.3.7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$\frac{0}{7 + 5 - 12}$

Schritt 1.3.7.2

Addiere $7$ und $5$ .

$\frac{0}{12 - 12}$

Schritt 1.3.7.3

Subtrahiere $12$ von $12$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.7.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.8

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{\log (x)}{7 x^{2} + 5 x - 12} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\log (x)]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x - 12]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\log (x)]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x - 12]}$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\log (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x - 12]}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x^{2} + 5 x - 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{2}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{7 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{14 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Schritt 3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 3.5.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{14 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{14 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{14 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Schritt 3.6

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{14 x + 5 + 0}$

Schritt 3.7

Addiere $14 x + 5$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{14 x + 5}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x \ln (10)} \cdot \frac{1}{14 x + 5}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{1}{x \ln (10)}$ mit $\frac{1}{14 x + 5}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x \ln (10) (14 x + 5)}$

Schritt 6

Ziehe den Term $\frac{1}{\ln (10)}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{\ln (10)} lim_{x \to 1} \frac{1}{x (14 x + 5)}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (14 x + 5)}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x (14 x + 5)}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} 14 x + 5}$

Schritt 10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (lim_{x \to 1} 14 x + lim_{x \to 1} 5)}$

Schritt 11

Ziehe den Term $14$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (14 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 5)}$

Schritt 12

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (14 lim_{x \to 1} x + 5)}$

Schritt 13

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 13.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{1 \cdot (14 lim_{x \to 1} x + 5)}$

Schritt 13.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{1 \cdot (14 \cdot 1 + 5)}$

Schritt 14

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 14.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{1 \cdot (14 \cdot 1 + 5)}$

Schritt 14.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{14 \cdot 1 + 5}$

Schritt 14.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.2.1

Mutltipliziere $14$ mit $1$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{14 + 5}$

Schritt 14.2.2

Addiere $14$ und $5$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{19}$

Schritt 14.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\ln (10)}$ mit $\frac{1}{19}$ .

$\frac{1}{\ln (10) \cdot 19}$

Schritt 14.4

Bringe $19$ auf die linke Seite von $\ln (10)$ .

$\frac{1}{19 \ln (10)}$