Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{7 - e^{x}}{7 + 8 e^{x}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 - e^{x}}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 - lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

Schritt 1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{7 - lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

Schritt 1.2.2

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $\infty$ an.

$\frac{7 - \infty}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Eine Konstante ungleich Null multipliziert mit Unendlich ergibt Unendlich.

$\frac{7 + - \infty}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

Schritt 1.2.3.2

Unendlich plus oder minus eine Zahl ist Unendlich.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 7 + lim_{x \to \infty} 8 e^{x}}$

Schritt 1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{- \infty}{7 + lim_{x \to \infty} 8 e^{x}}$

Schritt 1.3.2

Da die Funktion $e^{x}$ gegen $\infty$ geht, geht die positive Konstante $8$ mal der Funktion ebenfalls gegen $\infty$ .

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Schritt 1.3.2.1

Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen $8$ entfernt.

$\frac{- \infty}{7 + lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Schritt 1.3.2.2

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $\infty$ an.

$\frac{- \infty}{7 + \infty}$

Schritt 1.3.3

Unendlich plus oder minus eine Zahl ist Unendlich.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 1.3.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 2

Da $\frac{- \infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{7 - e^{x}}{7 + 8 e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 - e^{x}]}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 - e^{x}]}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 - e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

Schritt 3.3

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - e^{x}}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

Schritt 3.5

Subtrahiere $e^{x}$ von $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

Schritt 3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 + 8 e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]}$

Schritt 3.7

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{0 + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]}$

Schritt 3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

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Schritt 3.8.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 e^{x}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{0 + 8 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{0 + 8 e^{x}}$

Schritt 3.9

Addiere $0$ und $8 e^{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{8 e^{x}}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{8 e^{x}}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 1}{8}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $\frac{- 1}{8}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{- 1}{8}$

Schritt 6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{8}$