Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{\sqrt[3]{x}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x}}$

Schritt 1.2

Da der Logarithmus gegen unendlich geht, geht der Wert gegen $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x}}$

Schritt 1.3

Da $x$ für Wurzeln gegen $\infty$ geht, erreicht der Wert $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{\sqrt[3]{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

Schritt 3.3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}}$

Schritt 3.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

Schritt 3.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

Schritt 3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}}$

Schritt 3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}}$

Schritt 3.8.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}}$

Schritt 3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}}$

Schritt 3.10

Vereinfache.

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Schritt 3.10.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 5

Vereinige Faktoren.

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Schritt 5.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{3}{x}$ und $x^{\frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{x}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{- \frac{1}{3}})}{x}$

Schritt 6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{- \frac{1}{3}})}{x^{1}}$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{- \frac{1}{3}})}{x \cdot 1}$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{- \frac{1}{3}})}{x \cdot 1}$

Schritt 6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{- \frac{1}{3}}}{1}$

Schritt 6.2.5

Dividiere $3 x^{- \frac{1}{3}}$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} 3 x^{- \frac{1}{3}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 lim_{x \to \infty} x^{- \frac{1}{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 7.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 7.2.2

Schreibe $x^{\frac{1}{3}}$ als $\sqrt[3]{x}$ um.

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Schritt 8

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ $0$ .

$3 \cdot 0$

Schritt 9

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$0$