Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{11 x^{2} - 2 x + 8}{2 - x}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} 11 x^{2} - 2 x + 8}{lim_{x \to \infty} 2 - x}$

Schritt 1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 - x}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Stelle $2$ und $- x$ um.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x + 2}$

Schritt 1.3.2

Der Grenzwert eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient negativ ist, bei unendlich, ist minus unendlich.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Schritt 1.3.3

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{- \infty}$

Schritt 1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{- \infty}$

Schritt 2

Da $\frac{\infty}{- \infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{11 x^{2} - 2 x + 8}{2 - x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [11 x^{2} - 2 x + 8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [11 x^{2} - 2 x + 8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $11 x^{2} - 2 x + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $11 x^{2}$ nach $x$ gleich $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{11 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{11 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $11$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Schritt 3.5

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 + 0}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Schritt 3.6

Addiere $22 x - 2$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 3.8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 3.9

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 3.9.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 - \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.9.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.9.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 - 1}$

Schritt 3.10

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{- 1}$

Schritt 4

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 4.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{22 x - 2}{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} - 1 \cdot (22 x - 2)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to \infty} - 1 \cdot (22 x) - 1 \cdot - 2$

Schritt 4.3

Multipliziere.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $22$ .

$lim_{x \to \infty} - 22 x - 1 \cdot - 2$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$lim_{x \to \infty} - 22 x + 2$

Schritt 5

Der Grenzwert eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient negativ ist, bei unendlich, ist minus unendlich.

$- \infty$