Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - x - \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.1.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Schritt 1.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 x - \frac{1}{x} - 1$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x, 1, 1$

Schritt 2.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ mit $x$ .

$2 x \cdot x - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.2.1.1.1

Bewege $x$ .

$2 (x \cdot x) - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x}$ in den Zähler.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{2} - 1 - x = 0 x$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$2 x^{2} - 1 - x = 0$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.4.1.1

Stelle die Terme um.

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

Schritt 2.4.1.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 2.4.1.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

Schritt 2.4.1.2.2

Schreibe $- 1$ um als $1$ plus $- 2$

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

Schritt 2.4.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

Schritt 2.4.1.2.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

Schritt 2.4.1.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.4.1.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

Schritt 2.4.1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

Schritt 2.4.1.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 2.4.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4.3

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.3.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 2.4.3.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 2.4.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.4.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.4.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.4.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.4.4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.4.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $- \frac{1}{2}, 1$ .

$- \frac{1}{2}, 1$

Schritt 4

Setze den Nenner in $\frac{1}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 6

Schließe die Intervalle aus, die nicht im Definitionsbereich sind.

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 0.5, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.25$ .

$f' (- 0.25) = 2 (- 0.25) - \frac{1}{- 0.25} - 1$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.25$ .

$f' (- 0.25) = - 0.5 - \frac{1}{- 0.25} - 1$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $1$ durch $- 0.25$ .

$f' (- 0.25) = - 0.5 + 4 - 1$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$f' (- 0.25) = - 0.5 + 4 - 1$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.2.1

Addiere $- 0.5$ und $4$ .

$f' (- 0.25) = 3.5 - 1$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $3.5$ .

$f' (- 0.25) = 2.5$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $2.5$ .

$2.5$

Schritt 8

Schließe die Intervalle aus, die nicht im Definitionsbereich sind.

$(0, 1)$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2}) - \frac{1}{\frac{1}{2}} - 1$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2}) - \frac{1}{\frac{1}{2}} - 1$

Schritt 9.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{\frac{1}{2}} - 1$

Schritt 9.2.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - (1 \cdot 2) - 1$

Schritt 9.2.1.3

Multipliziere $- (1 \cdot 2)$ .

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Schritt 9.2.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - 1 \cdot 2 - 1$

Schritt 9.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - 2 - 1$

Schritt 9.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 9.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 1 - 1$

Schritt 9.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 2$

Schritt 9.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 9.3

Bei $x = \frac{1}{2}$ ist die Ableitung $- 2$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, 1)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, 1)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 10

Schließe die Intervalle aus, die nicht im Definitionsbereich sind.

$(0, 1), (1, \infty)$

Schritt 11

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = 2 (2) - \frac{1}{2} - 1$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (2) = 4 - \frac{1}{2} - 1$

Schritt 11.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 11.2.2.1

Schreibe $4$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f' (2) = \frac{4}{1} - \frac{1}{2} - 1$

Schritt 11.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} - 1$

Schritt 11.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} - 1$

Schritt 11.2.2.4

Schreibe $- 1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{1}$

Schritt 11.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 1}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 11.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{- 1}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 11.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2 - 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 11.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f' (2) = \frac{8 - 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 11.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (2) = \frac{8 - 1 - 2}{2}$

Schritt 11.2.5

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 11.2.5.1

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$f' (2) = \frac{7 - 2}{2}$

Schritt 11.2.5.2

Subtrahiere $2$ von $7$ .

$f' (2) = \frac{5}{2}$

Schritt 11.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

Schritt 11.3

Bei $x = 2$ ist die Ableitung $\frac{5}{2}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(1, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(1, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 12

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(1, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(0, 1)$

Schritt 13