Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 9} - x$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{x^{2} + 9} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 9}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 9}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 9}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 9}$ als ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 9$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 9$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [9]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.5

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.11

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.13

Kombiniere $2$ und $\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} x + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.14

Kombiniere $\frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $x$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.15

Bringe ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.16

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.17

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$

Schritt 2.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

Keine Lösung

Schritt 3

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 4

An keinem Punkt ist die Ableitung $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$ gleich $0$ oder nicht definiert. Das Intervall, für das zu prüfen ist, ob $f (x) = \sqrt{x^{2} + 9} - x$ ansteigt oder abfällt, ist $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl, wie $1$ , aus dem Intervall $(- \infty, \infty)$ in die Ableitung $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$ ein, um zu prüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist. Wenn das Ergebnis negativ ist, fällt der Graph im Intervall $(- \infty, \infty)$ ab. Ist das Ergebnis positiv, steigt der Graph im Intervall $(- \infty, \infty)$ an.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = \frac{1}{{({(1)}^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = \frac{1}{{(1 + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$

Schritt 5.2.1.2

Addiere $1$ und $9$ .

$f' (1) = \frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} - 1$

Schritt 5.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} - 1$ .

$\frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} - 1$

Schritt 6

Das Ergebnis des Einsetzens von $1$ in $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$ ist $\frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} - 1$ , was negativ ist, folglich ist der Graph im Intervall $(- \infty, \infty)$ abfallend.

Abfallend im Intervall $(- \infty, \infty)$

Schritt 7

Abfallend im Intervall $(- \infty, \infty)$ bedeutet, dass die Funktion immer abfallend ist.

Immer abnehmend

Schritt 8